机电一体化系统：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

稳态误差与 PID 控制

系统型别: G(s) 在 s = 0 处的极点个数
误差常数: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
阶跃 A: e_ss = A/(1 + K_p)
斜坡 A·t: e_ss = A/K_v
抛物线 A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID 控制器: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
二阶目标: s² + 2ζω_ns + ω_n²
超调量与时间指标: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

方法

数一数开环 C(s)·G(s) 在 s = 0 处的极点个数：这就是系统型别。
求出与输入相匹配的误差常数：阶跃用 K_p，斜坡用 K_v，抛物线用 K_a。
应用 e_ss = A/(1 + K_p)、A/K_v 或 A/K_a，或者反过来解出所需的增益。
对于阻尼或转速的指标，写出闭环特征多项式，并与 s² + 2ζω_n·s + ω_n² 匹配。

2练习题

1.直流电机中等

某直流电机在 960 rpm 下输出 5.5 kW 的机械功率。求轴转矩 T。

P = 5.5 kWn = 960 rpm

T = N·m

2.直流电机困难

某直流电机的 k = 0.6 V·s/rad，R_a = 1.2 Ω，要以 800 rpm 带动 3.6 N·m 的负载。求所需的电枢电压 V。

k = 0.6 V·s/radR_a = 1.2 ΩT = 3.6 N·mn = 800 rpm

V = V

3.齿轮与齿轮系中等

一台 7.5 kW、转速 1450 rpm 的电动机驱动一个齿数为 25、模数为 5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 7.5 kWn = 1450 rpmN₁ = 25m = 5 mm

F_t = N

4.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（24 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（60 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 24B = 45C = 25D = 60

n_out = rpm

5.数据采集与采样中等

一个传感器在 150 °C 的量程内测量温度，其输出充满 ADC 的整个输入范围。读数必须分辨出 0.2 °C。求 ADC 所需的最小位数 N。

量程 = 150 °C分辨率 = 0.2 °C

N =

6.数据采集与采样困难

一项音频测量要求满量程正弦波的理想信号量化噪声比至少为 60 dB。求 ADC 的最小位数 N。

SQNR ≥ 60 dB

N =

7.惠斯通电桥与应变片中等

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V_s = 3 VR₁ = 600 ΩR₂ = 150 ΩR₃ = 100 ΩR₄ = 500 Ω

R_th = Ω

8.惠斯通电桥与应变片困难

一个 120 Ω、灵敏系数为 2 的应变片贴在钢棒上。受载时其电阻增大了 0.144 Ω。求应变 ε，单位为微应变（µε）。

R = 120 ΩGF = 2ΔR = 0.144 Ω

ε = µε

9.稳态误差与 PID 控制中等

抛物线输入 r(t) = 1·t²/2 加到 G(s) = 2(s + 4)/(s²(s + 10)) 的单位负反馈回路上。求稳态误差 e_ss。

G(s) = 2(s + 4)/(s²(s + 10))r(t) = 1·t²/2

e_ss =

10.稳态误差与 PID 控制困难

PI 控制器 C(s) = 5 + 2/s 在单位负反馈回路中控制对象 G(s) = 5/((s + 1)(s + 10))。求斜坡输入 r(t) = 5t 的稳态误差 e_ss。

C(s) = 5 + 2/sG(s) = 5/((s + 1)(s + 10))r(t) = 5t

e_ss =

11.阶跃响应中等

某系统的传递函数为 G(s) = 80/(s² + 7s + 40)，输入为单位阶跃。极点为 s = σ ± jω_d。求实部 σ。

G(s) = 80/(s² + 7s + 40)

σ =

12.阶跃响应困难

单位负反馈回路的 G(s) = K/(s(s + 10))。求使阶跃响应有 30 % 超调量的增益 K。

G(s) = K/(s(s + 10))%OS = 30 %

K =

3溶液

1.直流电机

答案: T = 54.71 N·m

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

以 rad/s 表示的转速

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

扭矩

T = P/ω = 5500/100.5 = 54.71 N·m

答案

T = 54.71 N·m

2.直流电机

答案: V = 57.47 V

反电动势

E = 0.6·83.78 = 50.27 V

电枢电流

I_a = 3.6/0.6 = 6 A

电枢电压

V = 50.27 + 6·1.2 = 57.47 V

答案

V = 57.47 V

3.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 790.3 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 7500/151.8 = 49.39 N·m

分度圆直径

d = m·N = 5·25 = 125 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·49.39/0.125 = 790.3 N

答案

F_t = 790.3 N

4.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 333.3 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·24/45 = 800 rpm = n_C

第二级

n_out = 800·25/60 = 333.3 rpm

答案

n_out = 333.3 rpm

总传动比 = 4.5 : 1

5.数据采集与采样

答案: N = 10

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 V_FSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = V_FSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊V_in/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

150/0.2 = 750

位数

log₂(750) = 9.551

2⁹ = 512 < 750 ≤ 2¹⁰ = 1024

N = 10

答案

N = 10

6.数据采集与采样

答案: N = 10

解出 N

N ≥ (60 − 1.76)/6.02 = 9.674

向上取整

N = 10

校核: 6.02·10 + 1.76 = 61.96 dB ≥ 60 dB

答案

N = 10

7.惠斯通电桥与应变片

答案: R_th = 203.3 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

电源短路

R₁∥R₂ = 600·150/750 = 120 Ω

R₃∥R₄ = 100·500/600 = 83.33 Ω

戴维南电阻

R_th = 203.3 Ω

答案

R_th = 203.3 Ω

8.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 600 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 0.144/120 = 0.0012

应变

ε = 0.0012/2 = 0.0006 = 600 µε

答案

ε = 600 µε

9.稳态误差与 PID 控制

答案: e_ss = 1.25

稳态误差：在单位负反馈回路中，设开环传递函数为 G(s)，则误差为 E(s) = R(s)/(1 + G(s))，由终值定理得 e_ss = lim_s→0 s·E(s)。系统型别是 G(s) 在 s = 0 处的极点个数。误差常数为 K_p = lim G(s)、K_v = lim s·G(s) 和 K_a = lim s²·G(s)，均取 s → 0。大小为 A 的阶跃输入给出 e_ss = A/(1 + K_p)，斜坡 A·t 给出 A/K_v，抛物线 A·t²/2 给出 A/K_a。0 型回路跟踪阶跃有有限误差，1 型回路能无误差跟踪阶跃，跟踪斜坡则有有限误差。

加速度误差常数

K_a = 2·4/10 = 0.8

抛物线误差

e_ss = 1/0.8 = 1.25

答案

e_ss = 1.25

10.稳态误差与 PID 控制

答案: e_ss = 5

P、PI 和 PID 控制：控制器 C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s 作用于误差。比例增益使回路更快，并减小 0 型对象的误差，但无法将其消除。积分项增加一个 s = 0 处的极点：系统型别升高一级，阶跃输入可以被无误差地跟踪。微分项增加阻尼。选取增益时，写出闭环特征多项式，并与 s² + 2ζω_ns + ω_n² 比较。然后 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}，t_p = π/ω_d，其中 ω_d = ω_n√(1 − ζ²)，t_s ≈ 4/(ζω_n)。

速度误差常数

当 s → 0 时，s·C(s) = 5s + 2 → 2。

K_v = 2·5/10 = 1

斜坡误差

e_ss = 5/1 = 5

答案

e_ss = 5

PI 控制器能完全消除阶跃误差；斜坡则以恒定的滞后被跟踪。

11.阶跃响应

答案: σ = −3.5

阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jω_d，其中 ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}，峰值时间 t_p = π/ω_d，2 % 调节时间 t_s ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。

与标准形式比较

分母必须与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 对应。

ωₙ² = 40 → ωₙ = 6.325 rad/s

2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·6.325) = 0.5534

结果

σ = −ζωₙ = −7/2 = −3.5

答案

σ = −3.5

12.阶跃响应

答案: K = 195.2

闭环传递函数

T(s) = K/(s² + 10s + K)

由超调量求阻尼比

ζ = −ln(0.3)/√(π² + ln²(0.3)) = 0.3579

增益

ωₙ = 10/(2ζ) = 13.97 rad/s

K = ωₙ² = 195.2

答案

K = 195.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechatronic-systems