公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
某直流电机（k = 0.75 N·m/A，Ra = 1.5 Ω）由 110 V 供电，带动 6 N·m 的负载转矩。求它的转速 n，单位为 rpm。
某 240 V 直流电机的电枢电阻为 1.5 Ω。求把起动电流限制在 100 A 的串联起动电阻 Rst。
一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮上。紧边张力为 600 N，松边张力为 240 N。求传递的功率 P，单位 kW。
一条开口皮带把一个以 960 rpm 转动、直径 160 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 800 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 800 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
一个输入量程为 0 到 3.3 V 的 8 位 ADC 采用截断：其输出码为 ⌊Vin/LSB⌋，其中 1 LSB = VFSR/2ᴺ。求输入 1.647 V 时的十进制输出码 D。
一个 800 Hz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 8 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 7f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。
一个电阻为 50 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 2 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。
某电桥的各臂为 1000 Ω，激励电压为 2.5 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2.12，应变为 1200 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。
某单位负反馈回路的 G(s) = K/((s + 2)(s + 10))。求使阶跃输入的稳态误差为 25 % 的增益 K。
比例控制器 K = 5 在单位负反馈回路中控制对象 G(s) = 4/(s(s + 2))。 用 ts ≈ 4/(ζωₙ)，求阶跃响应的 2 % 调节时间 ts。
某系统的传递函数为 G(s) = 174/(s² + 7s + 58)，输入为单位阶跃。 求阶跃响应的峰值时间 tp。
单位负反馈回路的 G(s) = K/(s(s + 2))。求使阶跃响应有 15 % 超调量的增益 K。
答案: n = 1248 rpm
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
答案: Rst = 0.9 Ω
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
随着电机加速、反电动势增大，电阻被逐级切除。
答案: P = 4.1 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
答案: P = 3.271 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
答案: D = 127
ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。
用二进制表示是 01111111。
答案: fa = 2400 Hz
采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。
混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。
答案: Ig = 2817 µA
惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。
答案: Vo = 6.36 mV
应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。
答案: K = 60
稳态误差：在单位负反馈回路中，设开环传递函数为 G(s)，则误差为 E(s) = R(s)/(1 + G(s))，由终值定理得 ess = lims→0 s·E(s)。系统型别是 G(s) 在 s = 0 处的极点个数。误差常数为 Kp = lim G(s)、Kv = lim s·G(s) 和 Ka = lim s²·G(s)，均取 s → 0。大小为 A 的阶跃输入给出 ess = A/(1 + Kp)，斜坡 A·t 给出 A/Kv，抛物线 A·t²/2 给出 A/Ka。0 型回路跟踪阶跃有有限误差，1 型回路能无误差跟踪阶跃，跟踪斜坡则有有限误差。
还要检查闭环稳定性：对这个二阶回路，任何 K > 0 都是稳定的。
答案: ts = 4 s
P、PI 和 PID 控制：控制器 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s 作用于误差。比例增益使回路更快，并减小 0 型对象的误差，但无法将其消除。积分项增加一个 s = 0 处的极点：系统型别升高一级，阶跃输入可以被无误差地跟踪。微分项增加阻尼。选取增益时，写出闭环特征多项式，并与 s² + 2ζωns + ωn² 比较。然后 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，tp = π/ωd，其中 ωd = ωn√(1 − ζ²)，ts ≈ 4/(ζωn)。
这里调节时间与 K 无关：增大 K 只会使响应振荡得更快。
答案: tp = 0.4645 s
阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jωd，其中 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，峰值时间 tp = π/ωd，2 % 调节时间 ts ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。
分母必须与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 对应。
答案: K = 3.742
阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jωd，其中 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)，峰值时间 tp = π/ωd，2 % 调节时间 ts ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。
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