数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
梯形法则的误差界: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等

对 ∫₀¹ x³ dx 使用梯形法则。误差至多为 (b − a)³·M/(12n²)，其中 M 为 [0, 1] 上的 max|f″|。求能保证误差小于 1 × 10⁻⁵ 的最少窄条数 n。

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

2.数值方法困难

对 y′ = e^−ty，y(0) = 0.5，取 h = 0.2，做一步经典龙格–库塔法 (RK4)。求 y₁ ≈ y(0.2)。

y′ = e^−tyy(0) = 0.5h = 0.2

y₁ =

3.数列与级数中等

幂级数 Σ_k=1^∞ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏ 在以 x₀ = 2 为中心的区间上收敛。求该区间的左端点 x。

Σ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏx₀ = 2

x =

4.数列与级数困难

识别该级数并求它的和：S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1·0.75ᵏ/k。

a_k = (−1)^k+1·0.75ᵏ/k

S =

5.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [0 4 5; 1 −1 3; −5 2 −2]

det A =

6.矩阵与行列式困难

解方程组 −5x − 6y = −11 和 −x − 2y = −4。求 x。

−5x − 6y = −11−x − 2y = −4

x =

7.微分方程中等

一杯 81 °C 的咖啡放在 24 °C 的房间里。 27 min 后其温度为 31 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 81 °CT_a = 24 °CT(27) = 31 °C

k = min⁻¹

8.微分方程困难

求解 y′ + 0.5y = 6e^−2t，y(0) = 1。求 y(2)。

y′ + 0.5y = 6e^−2ty(0) = 1

y(2) =

3溶液

1.数值方法

答案: n = 224

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

二阶导数的上界

M = 6·1 = 6

解出 n

n² > 1·6/(12·1 × 10⁻⁵) = 50000

n > 223.6 → n = 224

答案

n = 224

2.数值方法

答案: y₁ = 0.688

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

四个斜率

k₁ = f(0, 0.5) = 1

k₂ = f(0.1, 0.6) = 0.941765

k₃ = f(0.1, 0.594176) = 0.942313

k₄ = f(0.2, 0.688463) = 0.871367

合并

y₁ = 0.5 + (0.2/6)(1 + 2·0.941765 + 2·0.942313 + 0.871367) = 0.688

答案

y₁ = 0.688

3.数列与级数

答案: x = −0.7183

系数

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

半径

R = 2.718

区间

−0.7183 < x < 4.718

x = −0.7183

答案

x = −0.7183

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: S = 0.5596

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

标准级数

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

代入

x = 0.75

S = ln 1.75 = 0.5596

答案

S = 0.5596

5.矩阵与行列式

答案: det A = −67

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −4, M₁₂ = 13, M₁₃ = −3

代数余子式展开

det A = 0·(−4) − 4·13 + 5·(−3) = −67

答案

det A = −67

6.矩阵与行列式

答案: x = −0.5

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·(−2) − (−6)·(−1) = 4

替换 x 列

det Aₓ = (−11)·(−2) − (−6)·(−4) = −2

x = −2/4 = −0.5

答案

x = −0.5

y = 2.25

7.微分方程

答案: k = 0.07767 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−27k = 7/57

解出 k

k = ln(57/7)/27 = 0.07767 min⁻¹

答案

k = 0.07767 min⁻¹

8.微分方程

答案: y(2) = 1.766

积分因子

μ = e^0.5t

(e^0.5ty)′ = 6e^−1.5t

通解

y = 6/(−1.5)·e^−2t + C·e^−0.5t = −4·e^−2t + C·e^−0.5t

初始条件

1 = −4 + C → C = 5

求值

y(2) = −4·0.01832 + 5·0.3679 = 1.766

答案

y(2) = 1.766

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