数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
梯形法则的误差界: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等

用辛普森法则取 n = 6 条窄条，近似计算 ∫₀² √x·e^−x dx。给出 S。

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 2]n = 6

S =

2.数值方法困难

用欧拉法、步长 h = 0.25，解 y′ = −2ty，y(0) = 3，直到 t = 1.25。精确解为 y = y₀e^−t²。求整体误差 |E| = |y(1.25) − y₅|。

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0.25

|E| =

3.数列与级数中等

求幂级数 Σ_k=1^∞ (2k)!·(x + 1)ᵏ/(k!)² 的收敛半径 R。

Σ (2k)!·(x + 1)ᵏ/(k!)²x₀ = −1

R =

4.数列与级数困难

f(x) = eˣ 在 x = 1 处用其 3 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = e¹ = 2.718）求最大可能误差 |R₃|。

f(x) = eˣn = 3x = 1M = 2.718

|R₃| =

5.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [1 4 −2; −3 −5 −3; −4 0 2]

det A =

6.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [4 4; −2 −5]

λ =

7.微分方程中等

一杯 80 °C 的咖啡放在 18 °C 的房间里。 6 min 后其温度为 70 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 47 °C？

T₀ = 80 °CT_a = 18 °CT(6) = 70 °CT = 47 °C

t = min

8.微分方程困难

解 y″ + y′ + 4.25y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(1)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 4.25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1) =

3溶液

1.数值方法

答案: S = 0.6378

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

节点与函数值

h = 0.3333

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0.41369 + 2·0.419203 + 4·0.367879 + 2·0.304376 + 4·0.243837 + 0.191393 = 5.740177

辛普森法则

S = (0.3333/3)·5.740177 = 0.6378

答案

S = 0.6378

这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。

2.数值方法

答案: |E| = 0.0136

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

欧拉法各步

y₅ = 0.615234

精确值

y(1.25) = 0.628834

整体误差

|E| = |0.628834 − 0.615234| = 0.0136

图表

答案

|E| = 0.0136

把 h 减半，欧拉法的误差大约也减半。

3.数列与级数

答案: R = 0.25

系数

c_k+1/c_k = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4，所以 R = 1/4

半径

R = 0.25

答案

R = 0.25

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: |R₃| = 0.1133

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = e¹ = 2.718

拉格朗日误差界

|R₃| ≤ 2.718·1⁴/4! = 0.1133

答案

|R₃| = 0.1133

真实误差更小：|f(1) − P₃(1)| = 0.05162。

5.矩阵与行列式

答案: det A = 102

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −10, M₁₂ = −18, M₁₃ = −20

代数余子式展开

det A = 1·(−10) − 4·(−18) + (−2)·(−20) = 102

答案

det A = 102

6.矩阵与行列式

答案: λ = 3

特征方程

λ² − (−1)λ + (−12) = 0

求解

λ = (−1 ± √(49))/2 → λ = −4, 3

λ = 3

答案

λ = 3

7.微分方程

答案: t = 25.92 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(62/52)/6 = 0.02932 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(62/29)/0.02932 = 25.92 min

答案

t = 25.92 min

8.微分方程

答案: y(1) = −0.5726

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

复根

r = −0.5 ± 2j

常数

A = 5, B = 0.5·5/2 = 1.25

求值

y(1) = e^−0.5(5·cos 2 + 1.25·sin 2) = −0.5726

答案

y(1) = −0.5726

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