数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
梯形法则的误差界
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

  1. 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
  2. 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
  3. 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
  4. 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式
det = ad − bc
2×2 逆矩阵
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品
(AB)ij = Σk AikBkj
特征值
det(A − λI) = 0
克拉默法则
xi = det(Ai)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等
xy00.250.50.751

用辛普森法则取 n = 4 条窄条，近似计算 ∫01 1/√(1 + x⁴) dx。给出 S。

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 4
S =
2.数值方法困难
00.20.400.020.04ty(0, 0)

对 y′ = t² + y²，y(0) = 0，取 h = 0.5，做一步经典龙格–库塔法 (RK4)。求 y₁ ≈ y(0.5)。

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0.5
y1 =
3.数列与级数中等
kSn​12345678910S = ?

求和 S = Σk=1∞ 5/(k(k + 3))。

ak = 5/(k(k + 3))
S =
4.数列与级数困难

f(x) = eˣ 在 x = 1 处用其 4 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = e1 = 2.718）求最大可能误差 |R₄|。

f(x) = eˣn = 4x = 1M = 2.718
|R₄| =
5.矩阵与行列式中等
A =0−230−1−4352

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [0 −2 3; 0 −1 −4; 3 5 2]
det A =
6.矩阵与行列式困难
A =−555−6b =88

解方程组 −5x + 5y = 8 和 5x − 6y = 8。求 x。

−5x + 5y = 85x − 6y = 8
x =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)25Ta​19 °C20 °C

一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 22 °C 的房间里。 25 min 后其温度为 19 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 20 °C？

T0 = 3 °CTa = 22 °CT(25) = 19 °CT = 20 °C
t = min
8.微分方程困难
ty0.5y(0.5) = ?

求解 y′ + 2y = 10e−3t，y(0) = 5。求 y(0.5)。

y′ + 2y = 10e−3ty(0) = 5
y(0.5) =

3溶液

1.数值方法

答案: S = 0.9272

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

ixᵢf(xᵢ)体重001110.250.998053420.50.970143230.750.8715764410.7071071

节点与函数值

h = 0.25
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.998053 + 2·0.970143 + 4·0.871576 + 0.707107 = 11.125904

辛普森法则

S = (0.25/3)·11.125904 = 0.9272

答案

S = 0.9272

这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。

2.数值方法

答案: y1 = 0.04179

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

四个斜率

k₁ = f(0, 0) = 0
k₂ = f(0.25, 0) = 0.0625
k₃ = f(0.25, 0.015625) = 0.0627441
k₄ = f(0.5, 0.0313721) = 0.250984

合并

y₁ = 0 + (0.5/6)(0 + 2·0.0625 + 2·0.0627441 + 0.250984) = 0.04179

答案

y1 = 0.04179
3.数列与级数

答案: S = 3.056

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

部分分式

5/(k(k + 3)) = (5/3)·(1/k − 1/(k + 3))

取消

S = (5/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 3.056

答案

S = 3.056
4.数列与级数

答案: |R₄| = 0.02265

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = e1 = 2.718

拉格朗日误差界

|R₄| ≤ 2.718·1⁵/5! = 0.02265

答案

|R₄| = 0.02265

真实误差更小：|f(1) − P₄(1)| = 0.009948。

5.矩阵与行列式

答案: det A = 33

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 18, M₁₂ = 12, M₁₃ = 3

代数余子式展开

det A = 0·18 − (−2)·12 + 3·3 = 33

答案

det A = 33
6.矩阵与行列式

答案: x = −17.6

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·(−6) − 5·5 = 5

替换 x 列

det Aₓ = 8·(−6) − 5·8 = −88
x = −88/5 = −17.6

答案

x = −17.6
y = −16
7.微分方程

答案: t = 30.49 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(-19/-3)/25 = 0.07383 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(-19/(−2))/0.07383 = 30.49 min

答案

t = 30.49 min
8.微分方程

答案: y(0.5) = 3.287

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e2t
(e2ty)′ = 10e−t

通解

y = 10/(−1)·e−3t + C·e−2t = −10·e−3t + C·e−2t

初始条件

5 = −10 + C → C = 15

求值

y(0.5) = −10·0.2231 + 15·0.3679 = 3.287

答案

y(0.5) = 3.287

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