数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
梯形法则的误差界: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等

用辛普森法则取 n = 4 条窄条，近似计算 ∫₀^1.5 √(1 + x³) dx。给出 S。

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 4

S =

2.数值方法困难

对 y′ = t² + y²，y(0) = 0.5，取 h = 0.5，做一步经典龙格–库塔法 (RK4)。求 y₁ ≈ y(0.5)。

y′ = t² + y²y(0) = 0.5h = 0.5

y₁ =

3.数列与级数中等

四个级数中恰有一个发散。点选它。

A: Σ (1/3)ᵏB: Σ k/5ᵏC: Σ (−1)ᵏ/kD: Σ (1 + 1/k)ᵏ

1A: Σ (1/3)ᵏ
2B: Σ k/5ᵏ
3C: Σ (−1)ᵏ/k
4D: Σ (1 + 1/k)ᵏ

4.数列与级数困难

f(x) = ln(1 + x) 在 x = 0.3 处用其 5 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 5! = 120）求最大可能误差 |R₅|。

f(x) = ln(1 + x)n = 5x = 0.3M = 120

|R₅| =

5.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [4 0 −2; 4 −2 1; −5 −5 −2]

det A =

6.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [5 4; −5 −4]

λ =

7.微分方程中等

解 y″ + 7y′ + 12y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 6。求 y(1)。

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 1y′(0) = 6

y(1) =

8.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 9.25y = 92.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.25)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 9.25y = 92.5y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3溶液

1.数值方法

答案: S = 1.976

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

节点与函数值

h = 0.375

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1.026028 + 2·1.192424 + 4·1.556865 + 2.09165 = 15.808071

辛普森法则

S = (0.375/3)·15.808071 = 1.976

答案

S = 1.976

这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。

2.数值方法

答案: y₁ = 0.716

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

四个斜率

k₁ = f(0, 0.5) = 0.25

k₂ = f(0.25, 0.5625) = 0.378906

k₃ = f(0.25, 0.594727) = 0.4162

k₄ = f(0.5, 0.7081) = 0.751405

合并

y₁ = 0.5 + (0.5/6)(0.25 + 2·0.378906 + 2·0.4162 + 0.751405) = 0.716

答案

y₁ = 0.716

3.数列与级数

答案: D: Σ (1 + 1/k)ᵏ

检验每个级数

A: Σ (1/3)ᵏ → 等比级数，r = 1/3，|r| < 1：收敛。

B: Σ k/5ᵏ → 比值判别法：L = 1/5 < 1，收敛。

C: Σ (−1)ᵏ/k → 交错级数，1/k 递减趋于 0：收敛（条件收敛）。

D: Σ (1 + 1/k)ᵏ → 各项趋于 e，而不是 0：由通项判别法，发散。

答案

D: Σ (1 + 1/k)ᵏ

答案

D: Σ (1 + 1/k)ᵏ

4.数列与级数

答案: |R₅| = 0.0001215

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 5! = 120

拉格朗日误差界

|R₅| ≤ 120·0.3⁶/6! = 0.0001215

答案

|R₅| = 0.0001215

真实误差更小：|f(0.3) − P₅(0.3)| = 9.674 × 10⁻⁵。

5.矩阵与行列式

答案: det A = 96

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 9, M₁₂ = −3, M₁₃ = −30

代数余子式展开

det A = 4·9 − 0·(−3) + (−2)·(−30) = 96

答案

det A = 96

6.矩阵与行列式

答案: λ = 1

特征方程

λ² − (1)λ + (0) = 0

求解

λ = (1 ± √(1))/2 → λ = 0, 1

λ = 1

答案

λ = 1

7.微分方程

答案: y(1) = 0.333

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

由初值求常数

A + B = 1, −3A − 4B = 6

A = 10, B = −9

求值

y(1) = 10·e⁻³ + (−9)·e⁻⁴ = 0.333

答案

y(1) = 0.333

8.微分方程

答案: y(0.25) = 2.54

稳态值与根

y_ss = 10, r = −0.5 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −0.5A + 3B = 0 → B = −1.667

求值

y(0.25) = 10·(1 − e^−0.125(cos 0.75 + 0.1667·sin 0.75)) = 2.54

答案

y(0.25) = 2.54

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