数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
梯形法则的误差界
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

  1. 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
  2. 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
  3. 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
  4. 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式
det = ad − bc
2×2 逆矩阵
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品
(AB)ij = Σk AikBkj
特征值
det(A − λI) = 0
克拉默法则
xi = det(Ai)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等
xy00.30.60.91.21.5

用梯形法则取 n = 5 条窄条，近似计算 ∫01.5 sin(x²) dx。给出 T。

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1.5]n = 5
T =
2.数值方法困难
00.510.40.60.81ty(0, 0.5)

对 y′ = y − t²，y(0) = 0.5，用欧拉法，取 h = 0.25，估计 y4 ≈ y(1)。

y′ = y − t²y(0) = 0.5h = 0.25
y4 =
3.数列与级数中等
xx₀ = 1??R

求幂级数 Σk=1∞ 2ᵏ·(x − 1)ᵏ/(k + 1) 的收敛半径 R。

Σ 2ᵏ·(x − 1)ᵏ/(k + 1)x₀ = 1
R =
4.数列与级数困难
xyfP₃0.8

用 f(x) = e3x 的 3 次麦克劳林多项式近似 f(0.8)。给出 P₃(0.8)。

f(x) = e3xn = 3x = 0.8
P₃(0.8) =
5.矩阵与行列式中等
A =243−4−35−211

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [2 4 3; −4 −3 5; −2 1 1]
det A =
6.矩阵与行列式困难
A =1−258

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [1 −2; 5 8]
λ =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)54Ta​T = ?

一个 400 °C 的钢锻件放在 23 °C 的车间里冷却。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.03 min⁻¹，求 54 min 后的温度 T。

T0 = 400 °CTa = 23 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 54 min
T = °C
8.微分方程困难
t (min)m (kg)t = ?64 kg

一个水箱装有 400 L 纯水。 每升含盐 0.2 kg 的盐水以 2 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 多少分钟 t 后水箱中含盐 64 kg？

V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0.2 kg/Lr = 2 L/min
t = min

3溶液

1.数值方法

答案: T = 0.7641

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

ixᵢf(xᵢ)体重000110.30.0898785220.60.352274230.90.724287241.20.991458251.50.7780731

节点与函数值

h = 0.3
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.0898785 + 2·0.352274 + 2·0.724287 + 2·0.991458 + 0.778073 = 5.09387

梯形法则

T = (0.3/2)·5.09387 = 0.7641

答案

T = 0.7641

这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。

2.数值方法

答案: y4 = 0.9775

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁000.50.50.62510.250.6250.56250.76562520.50.7656250.5156250.89453130.750.8945310.3320310.977539

欧拉法各步

y₁ = 0.5 + 0.25·(0.5) = 0.625
y₂ = 0.625 + 0.25·(0.5625) = 0.765625
y₃ = 0.765625 + 0.25·(0.515625) = 0.894531
y₄ = 0.894531 + 0.25·(0.332031) = 0.977539
00.510.40.60.81ty

图表

y4 = 0.9775

答案

y4 = 0.9775

精确值为 y(1) = 0.922577。

3.数列与级数

答案: R = 0.5

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

系数

ck/ck+1 = (1/2)·(k + 2)/(k + 1) → 0.5

半径

R = 0.5

答案

R = 0.5

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: P₃(0.8) = 8.584

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

麦克劳林多项式

P₃(x) = 1 + 3x + 4.5x² + 4.5x³

代入

P₃(0.8) = 1 + 2.4 + 2.88 + 2.304 = 8.584

答案

P₃(0.8) = 8.584

精确值为 f(0.8) = 11.023176；取更多项或取更靠近 0 的点时，误差 2.439176 会变小。

5.矩阵与行列式

答案: det A = −70

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −8, M₁₂ = 6, M₁₃ = −10

代数余子式展开

det A = 2·(−8) − 4·6 + 3·(−10) = −70

答案

det A = −70
6.矩阵与行列式

答案: λ = 6

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

特征方程

λ² − (9)λ + (18) = 0

求解

λ = (9 ± √(9))/2 → λ = 3, 6
λ = 6

答案

λ = 6
7.微分方程

答案: T = 97.61 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 23 + 377·e−0.03t

代入 t

T(54) = 23 + 377·0.1979 = 97.61 °C

答案

T = 97.61 °C
8.微分方程

答案: t = 321.9 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

结果

m(t) = 80 + (−80)·e−t/200

解出 t

e−t/200 = (80 − 64)/(80 − 0) = 0.2
t = 200·ln(5) = 321.9 min

答案

t = 321.9 min

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