数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
梯形法则的误差界
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

  1. 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
  2. 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
  3. 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
  4. 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式
det = ad − bc
2×2 逆矩阵
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品
(AB)ij = Σk AikBkj
特征值
det(A − λI) = 0
克拉默法则
xi = det(Ai)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等
xy00.511.5

用梯形法则取 n = 3 条窄条，近似计算 ∫01.5 1/(1 + x³) dx。给出 T。

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 3
T =
2.数值方法困难
00.20.40.61.52ty(0, 2)

对 y′ = cos t − y，y(0) = 2，用休恩法（改进欧拉法），取 h = 0.25，估计 y3 ≈ y(0.75)。

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0.25
y3 =
3.数列与级数中等
xx₀ = −2??R

求幂级数 Σk=1∞ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏ 的收敛半径 R。

Σ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏx₀ = −2
R =
4.数列与级数困难

f(x) = ln(1 + x) 在 x = 0.1 处用其 4 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 4! = 24）求最大可能误差 |R₄|。

f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0.1M = 24
|R₄| =
5.矩阵与行列式中等
A =−522301051

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−5 2 2; 3 0 1; 0 5 1]
det A =
6.矩阵与行列式困难
A =−5344b =10−12

解方程组 −5x + 3y = 10 和 4x + 4y = −12。求 x。

−5x + 3y = 104x + 4y = −12
x =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)16Ta​T = ?

一个 500 °C 的钢锻件放在 29 °C 的车间里冷却。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.05 min⁻¹，求 16 min 后的温度 T。

T0 = 500 °CTa = 29 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 16 min
T = °C
8.微分方程困难
ty1.5y(1.5) = ?

求解 y′ + y = 4e−3t，y(0) = 0。求 y(1.5)。

y′ + y = 4e−3ty(0) = 0
y(1.5) =

3溶液

1.数值方法

答案: T = 1.002

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

ixᵢf(xᵢ)体重001110.50.8888892210.5231.50.2285711

节点与函数值

h = 0.5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0.888889 + 2·0.5 + 0.228571 = 4.006349

梯形法则

T = (0.5/2)·4.006349 = 1.002

答案

T = 1.002

这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。

2.数值方法

答案: y3 = 1.415

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁002−1−0.7810881.77736410.251.777364−0.808452−0.6976691.58909920.51.589099−0.711516−0.6795311.415218

休恩法各步

y₁ = 2 + (0.25/2)(−1 − 0.781088) = 1.777364
y₂ = 1.777364 + (0.25/2)(−0.808452 − 0.697669) = 1.589099
y₃ = 1.589099 + (0.25/2)(−0.711516 − 0.679531) = 1.415218
00.20.40.61.52ty

图表

y3 = 1.415

答案

y3 = 1.415
3.数列与级数

答案: R = 2.718

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

系数

ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

半径

R = 2.718

答案

R = 2.718

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: |R₄| = 2 × 10⁻⁶

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 4! = 24

拉格朗日误差界

|R₄| ≤ 24·0.1⁵/5! = 2 × 10⁻⁶

答案

|R₄| = 2 × 10⁻⁶

真实误差更小：|f(0.1) − P₄(0.1)| = 1.846 × 10⁻⁶。

5.矩阵与行列式

答案: det A = 49

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −5, M₁₂ = 3, M₁₃ = 15

代数余子式展开

det A = (−5)·(−5) − 2·3 + 2·15 = 49

答案

det A = 49
6.矩阵与行列式

答案: x = −2.375

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·4 − 3·4 = −32

替换 x 列

det Aₓ = 10·4 − 3·(−12) = 76
x = 76/(−32) = −2.375

答案

x = −2.375
y = −0.625
7.微分方程

答案: T = 240.6 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 29 + 471·e−0.05t

代入 t

T(16) = 29 + 471·0.4493 = 240.6 °C

答案

T = 240.6 °C
8.微分方程

答案: y(1.5) = 0.424

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = et
(ety)′ = 4e−2t

通解

y = 4/(−2)·e−3t + C·e−t = −2·e−3t + C·e−t

初始条件

0 = −2 + C → C = 2

求值

y(1.5) = −2·0.01111 + 2·0.2231 = 0.424

答案

y(1.5) = 0.424

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