数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
梯形法则的误差界: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等

用梯形法则取 n = 5 条窄条，近似计算 ∫₀^1.5 1/(1 + x³) dx。给出 T。

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 5

T =

2.数值方法困难

对 y′ = 1 + sin(ty)，y(0) = 0.5，取 h = 0.1，做一步经典龙格–库塔法 (RK4)。求 y₁ ≈ y(0.1)。

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.1

y₁ =

3.数列与级数中等

求幂级数 Σ_k=1^∞ (1/2)ᵏ·(x − 1)ᵏ/(k + 1) 的收敛半径 R。

Σ (1/2)ᵏ·(x − 1)ᵏ/(k + 1)x₀ = 1

R =

4.数列与级数困难

f(x) = sin x 在 x = 2 处用其 n 次麦克劳林多项式近似。利用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1），求能保证误差小于 1 × 10⁻⁶ 的最小次数 n。

f(x) = sin xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

n =

5.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [2 −1 3; −4 −3 −2; −5 0 −1]

det A =

6.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [4 −1; 6 −3]

λ =

7.微分方程中等

解 y″ + 2y′ + y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 4。求 y(1.5)。

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(1.5) =

8.微分方程困难

求解 y′ + 3y = 4e^−2t，y(0) = 2。求 y(2)。

y′ + 3y = 4e^−2ty(0) = 2

y(2) =

3溶液

1.数值方法

答案: T = 1.007

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

节点与函数值

h = 0.3

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0.97371 + 2·0.822368 + 2·0.578369 + 2·0.366569 + 0.228571 = 6.710604

梯形法则

T = (0.3/2)·6.710604 = 1.007

答案

T = 1.007

这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。

2.数值方法

答案: y₁ = 0.6028

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

四个斜率

k₁ = f(0, 0.5) = 1

k₂ = f(0.05, 0.55) = 1.027497

k₃ = f(0.05, 0.551375) = 1.027565

k₄ = f(0.1, 0.602757) = 1.060239

合并

y₁ = 0.5 + (0.1/6)(1 + 2·1.027497 + 2·1.027565 + 1.060239) = 0.6028

答案

y₁ = 0.6028

3.数列与级数

答案: R = 2

系数

c_k/c_k+1 = (1/(1/2))·(k + 2)/(k + 1) → 2

半径

R = 2

答案

R = 2

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: n = 13

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

n 增大时的误差界

n = 12: 1.316 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 13: 1.879 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

最小次数

n = 13

答案

n = 13

5.矩阵与行列式

答案: det A = −45

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 3, M₁₂ = −6, M₁₃ = −15

代数余子式展开

det A = 2·3 − (−1)·(−6) + 3·(−15) = −45

答案

det A = −45

6.矩阵与行列式

答案: λ = 3

特征方程

λ² − (1)λ + (−6) = 0

求解

λ = (1 ± √(25))/2 → λ = −2, 3

λ = 3

答案

λ = 3

7.微分方程

答案: y(1.5) = 4.128

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 1)² = 0 → r = −1

常数

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 1A → B = 4 + 5 = 9

求值

y(1.5) = (5 + 9·1.5)·e^−1.5 = 4.128

答案

y(1.5) = 4.128

8.微分方程

答案: y(2) = 0.06831

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 4e^t

通解

y = 4/1·e^−2t + C·e^−3t = 4·e^−2t + C·e^−3t

初始条件

2 = 4 + C → C = −2

求值

y(2) = 4·0.01832 + (−2)·0.002479 = 0.06831

答案

y(2) = 0.06831

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