数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
梯形法则的误差界: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等

对 ∫₀² x³ dx 使用梯形法则。误差至多为 (b − a)³·M/(12n²)，其中 M 为 [0, 2] 上的 max|f″|。求能保证误差小于 1 × 10⁻⁵ 的最少窄条数 n。

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

2.数值方法困难

对 y′ = 1 + sin(ty)，y(0) = 0，取 h = 0.1，做一步经典龙格–库塔法 (RK4)。求 y₁ ≈ y(0.1)。

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0.1

y₁ =

3.数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1^∞ 2/(k(k + 3))。

a_k = 2/(k(k + 3))

S =

4.数列与级数困难

求 f(x) = 1/x 在 a = 1 处的泰勒级数中 (x − 1)² 的系数 c₂。

f(x) = 1/xa = 1k = 2

c₂ =

5.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₁（第 2 行，第 1 列）。

A = [−2 6; 4 1]B = [−1 −3; 2 4]

c₂₁ =

6.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [6 3; −2 1]

λ =

7.微分方程中等

一杯 81 °C 的咖啡放在 21 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.1 min⁻¹，求 23 min 后的温度 T。

T₀ = 81 °CT_a = 21 °Ck = 0.1 min⁻¹t = 23 min

T = °C

8.微分方程困难

求解 y′ + y = 8e^−0.5t，y(0) = 5。求 y(1.5)。

y′ + y = 8e^−0.5ty(0) = 5

y(1.5) =

3溶液

1.数值方法

答案: n = 895

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

二阶导数的上界

M = 6·2 = 12

解出 n

n² > 8·12/(12·1 × 10⁻⁵) = 800000

n > 894.4 → n = 895

答案

n = 895

2.数值方法

答案: y₁ = 0.1003

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

四个斜率

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0.05, 0.05) = 1.0025

k₃ = f(0.05, 0.050125) = 1.002506

k₄ = f(0.1, 0.100251) = 1.010025

合并

y₁ = 0 + (0.1/6)(1 + 2·1.0025 + 2·1.002506 + 1.010025) = 0.1003

答案

y₁ = 0.1003

3.数列与级数

答案: S = 1.222

部分分式

2/(k(k + 3)) = (2/3)·(1/k − 1/(k + 3))

取消

S = (2/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1.222

答案

S = 1.222

4.数列与级数

答案: c₂ = 1

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = 2/x³

系数

c₂ = 2/(1³·2) = 1

c₂ = 1

答案

c₂ = 1

5.矩阵与行列式

答案: c₂₁ = −2

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₁ = 4·(−1) + 1·2 = −2

答案

c₂₁ = −2

6.矩阵与行列式

答案: λ = 4

特征方程

λ² − (7)λ + (12) = 0

求解

λ = (7 ± √(1))/2 → λ = 3, 4

λ = 4

答案

λ = 4

7.微分方程

答案: T = 27.02 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 21 + 60·e^−0.1t

代入 t

T(23) = 21 + 60·0.1003 = 27.02 °C

答案

T = 27.02 °C

8.微分方程

答案: y(1.5) = 5.103

积分因子

μ = e^t

(e^ty)′ = 8e^0.5t

通解

y = 8/0.5·e^−0.5t + C·e^−t = 16·e^−0.5t + C·e^−t

初始条件

5 = 16 + C → C = −11

求值

y(1.5) = 16·0.4724 + (−11)·0.2231 = 5.103

答案

y(1.5) = 5.103

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