数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
梯形法则的误差界
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

  1. 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
  2. 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
  3. 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
  4. 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式
det = ad − bc
2×2 逆矩阵
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品
(AB)ij = Σk AikBkj
特征值
det(A − λI) = 0
克拉默法则
xi = det(Ai)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等

对 ∫01 eˣ dx 使用梯形法则。误差至多为 (b − a)³·M/(12n²)，其中 M 为 [0, 1] 上的 max|f″|。求能保证误差小于 0.0001 的最少窄条数 n。

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0.0001
n =
2.数值方法困难
00.20.40.60.20.40.6ty(0, 0.2)

用欧拉法、步长 h = 0.2，解 y′ = y(2 − y)，y(0) = 0.2，直到 t = 0.6。精确解为 y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t)。求整体误差 |E| = |y(0.6) − y3|。

y′ = y(2 − y)y(0) = 0.2h = 0.2
|E| =
3.数列与级数中等
AΣ (2/5)ᵏk = 1 … ∞BΣ 10ᵏ/k!k = 1 … ∞CΣ (−1)ᵏ/√kk = 1 … ∞DΣ 1/(3k + 7)k = 1 … ∞

四个级数中恰有一个发散。点选它。

A: Σ (2/5)ᵏB: Σ 10ᵏ/k!C: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ 1/(3k + 7)
  1. 1A: Σ (2/5)ᵏ
  2. 2B: Σ 10ᵏ/k!
  3. 3C: Σ (−1)ᵏ/√k
  4. 4D: Σ 1/(3k + 7)
4.数列与级数困难

求 f(x) = ln x 在 a = 1 处的泰勒级数中 (x − 1)² 的系数 c₂。

f(x) = ln xa = 1k = 2
c₂ =
5.矩阵与行列式中等
A =30−1−4−111−1−5

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [3 0 −1; −4 −1 1; 1 −1 −5]
det A =
6.矩阵与行列式困难
A =4−32−1

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [4 −3; 2 −1]
λ =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)30Ta​94 °C184 °C

一个 320 °C 的钢锻件放在 29 °C 的车间里冷却。 30 min 后其温度为 94 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 184 °C？

T0 = 320 °CTa = 29 °CT(30) = 94 °CT = 184 °C
t = min
8.微分方程困难
xy13(1, 5)y(3) = ?

求解初值问题 y′ + y/x = 6x，x > 0，y(1) = 5。求 y(3)。

y′ + y/x = 6xy(1) = 5
y(3) =

3溶液

1.数值方法

答案: n = 48

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

二阶导数的上界

M = e1 = 2.718

解出 n

n² > 1·2.718/(12·0.0001) = 2265
n > 47.59 → n = 48

答案

n = 48
2.数值方法

答案: |E| = 0.05336

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁000.20.360.27210.20.2720.4700160.36600320.40.3660030.5980480.485613

欧拉法各步

y3 = 0.485613

精确值

y(0.6) = 0.538975

整体误差

|E| = |0.538975 − 0.485613| = 0.05336
00.20.40.60.20.40.6ty

图表

答案

|E| = 0.05336

把 h 减半，欧拉法的误差大约也减半。

3.数列与级数

答案: D: Σ 1/(3k + 7)

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

检验每个级数

A: Σ (2/5)ᵏ → 等比级数，r = 2/5，|r| < 1：收敛。
B: Σ 10ᵏ/k! → 比值判别法：L = lim 10/(k + 1) = 0 < 1，收敛。
C: Σ (−1)ᵏ/√k → 交错级数，1/√k 递减趋于 0：收敛（条件收敛）。
D: Σ 1/(3k + 7) → k 很大时近似于 1/(3k)；与调和级数比较，它发散。

答案

D: Σ 1/(3k + 7)

答案

D: Σ 1/(3k + 7)
4.数列与级数

答案: c₂ = −0.5

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −1/x²

系数

c₂ = f⁽²⁾(1)/2! = −1/(1²·2) = −0.5
c₂ = −0.5

答案

c₂ = −0.5
5.矩阵与行列式

答案: det A = 13

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 6, M₁₂ = 19, M₁₃ = 5

代数余子式展开

det A = 3·6 − 0·19 + (−1)·5 = 13

答案

det A = 13
6.矩阵与行列式

答案: λ = 2

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

特征方程

λ² − (3)λ + (2) = 0

求解

λ = (3 ± √(1))/2 → λ = 1, 2
λ = 2

答案

λ = 2
7.微分方程

答案: t = 12.61 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(291/65)/30 = 0.04996 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(291/155)/0.04996 = 12.61 min

答案

t = 12.61 min
8.微分方程

答案: y(3) = 19

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e∫1/x dx = x1

积分

(x1y)′ = 6x2 → x1y = 6x3/3 + C

初始条件

5 = 6/3 + C → C = 3

求值

y(3) = (6·33/3 + 3)/31 = 19

答案

y(3) = 19

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