数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
梯形法则的误差界
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

  1. 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
  2. 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
  3. 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
  4. 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式
det = ad − bc
2×2 逆矩阵
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品
(AB)ij = Σk AikBkj
特征值
det(A − λI) = 0
克拉默法则
xi = det(Ai)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等
t (s)0102030405060v (m/s)10121212181723

每隔 10 s 测量一次车辆的速度（见表）。用辛普森法则估计从 t = 0 到 t = 60 s 行驶的距离 s。

h = 10 sn = 6
s = m
2.数值方法困难
00.20.4−1−0.5ty(0, −1)

对 y′ = cos t − y，y(0) = −1，取 h = 0.5，做一步经典龙格–库塔法 (RK4)。求 y₁ ≈ y(0.5)。

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0.5
y1 =
3.数列与级数中等
xx₀ = −2??R

求幂级数 Σk=1∞ k·2ᵏ·(x + 2)ᵏ 的收敛半径 R。

Σ k·2ᵏ·(x + 2)ᵏx₀ = −2
R =
4.数列与级数困难

f(x) = sin x 在 x = 1 处用其 3 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1）求最大可能误差 |R₃|。

f(x) = sin xn = 3x = 1M = 1
|R₃| =
5.矩阵与行列式中等
A =−2−1−13−40−2−1−3

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−2 −1 −1; 3 −4 0; −2 −1 −3]
det A =
6.矩阵与行列式困难
A =−6−2−32b =−612

解方程组 −6x − 2y = −6 和 −3x + 2y = 12。求 x。

−6x − 2y = −6−3x + 2y = 12
x =
7.微分方程中等
tyy(0) = 2y(2) = ?

解 y″ + 8y′ + 16y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 4。求 y(2)。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 4
y(2) =
8.微分方程困难
tyK = 5y(0.75) = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 26y = 130，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + 2y′ + 26y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =

3溶液

1.数值方法

答案: s = 856.7 m

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

加权和

10 + 4·12 + 2·12 + 4·12 + 2·18 + 4·17 + 23 = 257

辛普森法则

s = (10/3)·257 = 856.7 m

答案

s = 856.7 m
2.数值方法

答案: y1 = −0.2318

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

四个斜率

k₁ = f(0, −1) = 2
k₂ = f(0.25, −0.5) = 1.468912
k₃ = f(0.25, −0.632772) = 1.601684
k₄ = f(0.5, −0.199158) = 1.07674

合并

y₁ = −1 + (0.5/6)(2 + 2·1.468912 + 2·1.601684 + 1.07674) = −0.2318

答案

y1 = −0.2318
3.数列与级数

答案: R = 0.5

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

系数

ck/ck+1 = (1/2)·(k/(k + 1)) → 1/2

半径

R = 0.5

答案

R = 0.5

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: |R₃| = 0.04167

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 1

拉格朗日误差界

|R₃| ≤ 1·1⁴/4! = 0.04167

答案

|R₃| = 0.04167

真实误差更小：|f(1) − P₃(1)| = 0.008138。

5.矩阵与行列式

答案: det A = −22

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 12, M₁₂ = −9, M₁₃ = −11

代数余子式展开

det A = (−2)·12 − (−1)·(−9) + (−1)·(−11) = −22

答案

det A = −22
6.矩阵与行列式

答案: x = −0.6667

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

系数矩阵的行列式

det A = (−6)·2 − (−2)·(−3) = −18

替换 x 列

det Aₓ = (−6)·2 − (−2)·12 = 12
x = 12/(−18) = −0.6667

答案

x = −0.6667
y = 5
7.微分方程

答案: y(2) = 0.008722

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

常数

A = y(0) = 2
y′(0) = B − 4A → B = 4 + 8 = 12

求值

y(2) = (2 + 12·2)·e−8 = 0.008722

答案

y(2) = 0.008722
8.微分方程

答案: y(0.75) = 7.208

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

yss = 5, r = −1 ± 5j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5
y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −1

求值

y(0.75) = 5·(1 − e−0.75(cos 3.75 + 0.2·sin 3.75)) = 7.208

答案

y(0.75) = 7.208

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