物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3 m/sθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 45° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 45°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 26 m/s、与水平方向成 15° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 26 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.5 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 1.5 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一辆 5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 19.8 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 5.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 5 kgh = 19.8 mR = 5.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.2d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 14 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 1 kgh = 14 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 24 m/s 行驶的 500 kg 汽车撞上一辆静止的 1700 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 500 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 10 m/s 向东行驶的 1700 kg 汽车与一辆以 16 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1700 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 210 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 4 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 210 N/mA = 6 cmx = 4 cm

U = J

15.波、声与光学中等

对于入射角大于 30° 的每一个角度，透明块内的光在与空气（n = 1.00）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 30°n₂ = 1.00

n₁ =

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 20 cm 的凸面镜前 25 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 25 cmR = 20 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 7.407 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/4.5 = 7.407 s

答案

t = 7.407 s

2.运动学

答案: d = 30.9 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 891.8 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·891.8))/(2·4.905) = 2.51 s

深度

d = ½·9.81·2.51² = 30.9 m

答案

d = 30.9 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 0.6998 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.1·cos 35°) = 6.43 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·6.43) = 0.6998 m

答案

d = 0.6998 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 34.31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 90°) = 34.31 m/s

答案

v₀ = 34.31 m/s

6.抛体运动

答案: v = 36.91 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 26·cos 15° = 25.11 m/s

v_y0 = 26·sin 15° = 6.729 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(6.729² + 2·9.81·35) = 27.06 m/s

落水速度

v = √(25.11² + 27.06²) = 36.91 m/s

答案

v = 36.91 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: n = 29.19 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·1.5)) = 3.057 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 29.19 rpm

答案

n = 29.19 rpm

8.圆周运动

答案: N_bottom = 402.2 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·19.8 = 388.5 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 5·388.5/5.5 + 49.05 = 402.2 N

答案

N_bottom = 402.2 N

9.功和能

答案: v = 8.142 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 8.142 m/s

答案

v = 8.142 m/s

10.功和能

答案: v = 10.85 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(14 − 8) = 117.7 m²/s²

v = 10.85 m/s

答案

v = 10.85 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 77.27 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·24/2200 = 5.455 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·500·24² = 144000 J

K_after = ½·2200·5.455² = 32727 J

损失的比例

ΔK/K = 111273/144000 = 77.27 %

答案

ΔK/K = 77.27 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: θ = 50.74 °

动量分量

p_x = 1700·10 = 17000 kg·m/s

p_y = 1300·16 = 20800 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.224 → θ = 50.74°

答案

θ = 50.74°

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.096 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

答案

L = 1.096 m

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.168 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·210·0.06² = 0.378 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·210·0.04² = 0.168 J

答案

U = 0.168 J

15.波、声与光学

答案: n₁ = 2

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.5 = 2

答案

n₁ = 2

16.波、声与光学

答案: d_i = −7.143 cm

焦距

f = −R/2 = −10 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/25

d_i = −7.143 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −7.143 cm

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