物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 100 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 30 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 30 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 160 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 160 Nθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s 抛出，必须落在 60 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 40 m/sR = 60 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 17 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆 1800 kg 的汽车以 23 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 100 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1800 kgv = 23 m/sr = 100 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 12.6 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 4.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 0.5 kgh = 12.6 mR = 4.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 700 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 700 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 3.2 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 1 kgh = 3.2 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 19 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 1.5 kgh = 19 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 29 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.5 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.33 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.5 mT = 1.33 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 300 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 350 m/sM = 1.5 kgk = 300 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

频率为 1000 Hz 的声源以 10 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凹面镜前 6 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 6 cmR = 24 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.63 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/6 = 4.63 s

答案

t = 4.63 s

2.运动学

答案: h_max = 60.87 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 30·1 = 30 m/s

h₁ = ½·30·1² = 15 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 30²/(2·9.81) = 45.87 m

h_max = 15 + 45.87 = 60.87 m

答案

h_max = 60.87 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.207 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 160·sin 30° = 263.4 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 138.6 − 26.34

a = 112.2/35 = 3.207 m/s²

答案

a = 3.207 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 7.766 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 2.453)/6 = 7.766 m/s²

答案

a = 7.766 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 10.79 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·60/40² = 0.3679

相角

2θ = 21.58° → θ = 10.79°

答案

θ = 10.79°

另一个解为 90° − θ = 79.21°。

6.抛体运动

答案: α = 67.37 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 17·cos 45° = 12.02 m/s

v_y0 = 17·sin 45° = 12.02 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12.02² + 2·9.81·35) = 28.83 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 28.83/12.02 → α = 67.37°

答案

α = 67.37°

7.圆周运动

答案: N = 8136 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9.81 − 1800·23²/100 = 17658 − 9522 = 8136 N

答案

N = 8136 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: N_bottom = 32.37 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·12.6 = 247.2 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 0.5·247.2/4.5 + 4.905 = 32.37 N

答案

N_bottom = 32.37 N

9.功和能

答案: P = 12.13 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513.4 N

F = 513.4 + 700 = 1213 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1213·10 = 12134 W = 12.13 kW

答案

P = 12.13 kW

10.功和能

答案: N = 13.73 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(3.2 − 2) = 23.54 m²/s²

顶点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·23.54/1 − 9.81 = 13.73 N

答案

N = 13.73 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 581.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.19) = 1.931 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1.5)·1.931/0.005 = 581.2 m/s

答案

v = 581.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 21.45 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(10 + 29) = 21.45 N·s

答案

J = 21.45 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 11.16 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.5/1.33² = 11.16 m/s²

答案

g = 11.16 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: A = 19.72 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·350/1.512 = 2.778 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(300/1.512) = 14.09 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.778/14.09 = 0.1972 m = 19.72 cm

答案

A = 19.72 cm

15.波、声与光学

答案: f′ = 971.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 971.7 Hz

答案

f′ = 971.7 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i = −12 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 12 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/6

d_i = −12 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −12 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics