物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 10 s，然后匀速行驶 6 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 10 st₂ = 6 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

质量为 7.5 kg 和 1 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 1 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4 m/sθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s、与水平方向成 35° 的角度朝 39 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 32 m/sθ = 35°x = 39 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 1100 kg 的汽车以 6 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 25 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1100 kgv = 6 m/sr = 25 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.4 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 650 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 650 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 10 cmθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 16 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3.5 kgh = 16 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1500 kg 的汽车撞上一辆停放的 1300 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 19.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1500 kgm₂ = 1300 kgd = 19.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.26 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1 mT = 3.26 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.1 s，振幅为 17 cm。它从平衡位置运动到位移 4.25 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.1 sA = 17 cmx = 4.25 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个高 1 cm 的物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 18 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 1 cmd_o = 18 cmf = 8 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.2 mm 的两条缝。在 2 m 外的屏上，第 3 条亮条纹距中央条纹 18.99 mm。求波长 λ。

d = 0.2 mmL = 2 my₃ = 18.99 mmm = 3

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 69.44 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·8) = 69.44 m

答案

s = 69.44 m

2.运动学

答案: s = 126.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·10 = 10 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1·10² = 50 m

s₂ = 10·6 = 60 m

s₃ = 10²/(2·3) = 16.67 m

总距离

s = 50 + 60 + 16.67 = 126.7 m

答案

s = 126.7 m

3.牛顿定律

答案: T = 17.31 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 1)·9.81/(7.5 + 1) = 7.502 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 1·(9.81 + 7.502) = 17.31 N

答案

T = 17.31 N

4.牛顿定律

答案: d = 1.106 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.2·cos 35°) = 7.234 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·7.234) = 1.106 m

答案

d = 1.106 m

5.抛体运动

答案: y = 16.45 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 32·cos 35° = 26.21 m/s

t = x/v_x = 39/26.21 = 1.488 s

此时的高度

y = 18.35·1.488 − ½·9.81·1.488² = 16.45 m

答案

y = 16.45 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: H = 36.09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 17·sin 40° = 10.93 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 10.93²/(2·9.81) = 6.086 m

离地面的高度

H = 30 + 6.086 = 36.09 m

答案

H = 36.09 m

7.圆周运动

答案: N = 9207 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9.81 − 1100·6²/25 = 10791 − 1584 = 9207 N

答案

N = 9207 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_min = 3.706 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.4) = 3.706 m/s

答案

v_min = 3.706 m/s

9.功和能

答案: P = 23.27 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513.4 N

F = 513.4 + 650 = 1163 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1163·20 = 23268 W = 23.27 kW

答案

P = 23.27 kW

10.功和能

答案: d = 0.7517 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·2000·0.1² = 10 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 10/(29.43·(0.2588 + 0.2·0.9659)) = 0.7517 m

答案

d = 0.7517 m

11.动量与碰撞

答案: v = 311.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.16) = 1.772 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3.5)·1.772/0.02 = 311.8 m/s

答案

v = 311.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 25.82 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·19.5) = 13.83 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·13.83/1500 = 25.82 m/s

答案

v₁ = 25.82 m/s

(92.94 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.715 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/3.26² = 3.715 m/s²

答案

g = 3.715 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.1247 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.1 = 2.027 rad/s

求解时间

0.25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.25) = 0.2527 rad

t = 0.2527/2.027 = 0.1247 s

答案

t = 0.1247 s

15.波、声与光学

答案: h_i = −0.8 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/18

d_i = 14.4 cm

放大率与像高

m = −14.4/18 = −0.8

h_i = −0.8·1 = −0.8 cm

答案

h_i = −0.8 cm

16.波、声与光学

答案: λ = 633 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.01899·0.0002/(3·2) = 6.33 × 10⁻⁷ m = 633 nm

答案

λ = 633 nm

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