物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 120 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 120 km/ht_r = 1 sa = −5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 6 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 6 m/sθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 40 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 40 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.4 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 500 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 29 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。10 kg 的碎片以 37 m/s 继续向前运动。求 9 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 29 m/sm₁ = 10 kgv′₁ = 37 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 19 m/sv_out = 7 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.5 kg 的物体连在 k = 290 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.5 kgk = 290 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.6 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.6 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 60 cm：透镜 1 的 f₁ = 15 cm，透镜 2 的 f₂ = 10 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 15 cmf₂ = 10 cms = 60 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 144.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1 = 33.33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·5) = 111.1 m

合计

d = 33.33 + 111.1 = 144.4 m

答案

d = 144.4 m

2.运动学

答案: t = 4.914 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.914 s

答案

t = 4.914 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 3.668 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.25·cos 15°) = 4.908 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 6²/(2·4.908) = 3.668 m

答案

d = 3.668 m

5.抛体运动

答案: θ = 9.922 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·40/34² = 0.3394

相角

2θ = 19.84° → θ = 9.922°

答案

θ = 9.922°

另一个解为 90° − θ = 80.08°。

6.抛体运动

答案: v = 19.67 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 17·cos 50° = 10.93 m/s

v_y0 = 17·sin 50° = 13.02 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(13.02² + 2·9.81·5) = 16.36 m/s

落水速度

v = √(10.93² + 16.36²) = 19.67 m/s

答案

v = 19.67 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 21.7 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·80) = 21.7 m/s

答案

v_max = 21.7 m/s (78.12 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.706 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.4) = 3.706 m/s

答案

v_min = 3.706 m/s

9.功和能

答案: h = 0.6524 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·500·0.08² = 1.6 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 1.6/2.453 = 0.6524 m

答案

h = 0.6524 m

10.功和能

答案: v = 5.241 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.2·3) = 13.73 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.4) = 5.241 m/s

答案

v = 5.241 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 20.11 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 19·29 = 551 kg·m/s

碰撞后的动量

551 = 10·37 + 9·v′₂

v′₂ = (551 − 370)/9 = 20.11 m/s

答案

v′₂ = 20.11 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 910 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(7 + 19) = 9.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.1/0.01 = 910 N

答案

F_avg = 910 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.457 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.5/9.81) = 2.457 s

答案

T = 2.457 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 16.57 m/s²

角频率

ω = √(290/3.5) = 9.103 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.2·9.103² = 16.57 m/s²

答案

a_max = 16.57 m/s²

15.波、声与光学

答案: f₁ = 285.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.6/1 = 1.2 m

频率

f = v/λ = 343/1.2 = 285.8 Hz

答案

f₁ = 285.8 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 13.85 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/15 − 1/40 → d_i1 = 24 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 60 − 24 = 36 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/10 − 1/36 → d_i2 = 13.85 cm

答案

d_i2 = 13.85 cm

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