物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 13 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 7 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 6.2 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 7 m/sd = 6.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 3.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 14 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 50°x = 14 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 35 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 23 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 60°h_roof = 23 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 20 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 95 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 20 m/sr = 95 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 0.5 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 70 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 70 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 4.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 2 kgh = 4.5 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 2.5 kgL = 0.6 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 340 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 7 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 3 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 340 N/mA = 7 cmx = 3 cm

U = J

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.75 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 633 nmd = 0.3 mmL = 3 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 44.64 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·7) = 44.64 m

答案

s = 44.64 m

2.运动学

答案: h_max = 38.61 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9.81) = 8.614 m

离地面的高度

h_max = 30 + 8.614 = 38.61 m

答案

h_max = 38.61 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.4028

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·6.2) = 3.952 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.952/9.81 = 0.4028

答案

μ = 0.4028

4.牛顿定律

答案: T = 26.05 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 39.24 N

m₁·g·sin θ = 14.51 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (39.24 − 14.51 − 0)/7.5 = 3.297 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4·(9.81 − 3.297) = 26.05 N

答案

T = 26.05 N

5.抛体运动

答案: y = 13.24 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 26·cos 50° = 16.71 m/s

t = x/v_x = 14/16.71 = 0.8377 s

此时的高度

y = 19.92·0.8377 − ½·9.81·0.8377² = 13.24 m

答案

y = 13.24 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 92.64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 17.5 m/s, v_y = 30.31 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

23 = 30.31·t − 4.905·t²

t = (30.31 + √(30.31² − 2·9.81·23))/9.81 = 5.294 s

水平距离

x = v_x·t = 17.5·5.294 = 92.64 m

答案

x = 92.64 m

7.圆周运动

答案: N = 9519 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·20²/95 = 16677 − 7158 = 9519 N

答案

N = 9519 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 309.3 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·9²/0.5 = 17.66 + 291.6 = 309.3 N

答案

T = 309.3 N

9.功和能

答案: d = 32.12 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.6·9.81) = 32.12 m

答案

d = 32.12 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 7.004 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.5 − 2) = 49.05 m²/s²

v = 7.004 m/s

答案

v = 7.004 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3.429 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 2)/(1.5 + 2)·4 = −0.5714 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2)·4 = 3.429 m/s

答案

v′₂ = 3.429 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 305.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 35°) = 0.1085 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1085) = 1.459 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.512·1.459/0.012 = 305.4 m/s

答案

v = 305.4 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.811 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.7/2π)² = 1.811 m

答案

L = 1.811 m

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.153 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·340·0.07² = 0.833 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·340·0.03² = 0.153 J

答案

U = 0.153 J

15.波、声与光学

答案: f₁ = 228.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.75/1 = 1.5 m

频率

f = v/λ = 343/1.5 = 228.7 Hz

答案

f₁ = 228.7 Hz

16.波、声与光学

答案: y₂ = 12.66 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·3/(0.3 × 10⁻³) = 6.33 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·6.33 = 12.66 mm

答案

y₂ = 12.66 mm

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