物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 250 km/h 的速度，可用跑道长 900 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 250 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.运动学困难

球 A 从 30 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 30 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 30 mv_0B = 30 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 2 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 2 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 36 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 33 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 145 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 145 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 250 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 250 mθ = 20°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 4 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 40°μ = 0.25d = 4 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 20 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 2 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 20 Nθ = 20°μ = 0.25d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 20 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1300 kg 的汽车撞上一辆停放的 1300 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 13 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1300 kgm₂ = 1300 kgd = 13 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

把一个 2.1 kg 的物体挂在一根 k = 160 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 2.1 kgk = 160 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = 10 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 656 nm 的光垂直照射在每毫米 800 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 800 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.679 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 250/3.6 = 69.44 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 69.44²/(2·900) = 2.679 m/s²

答案

a = 2.679 m/s²

2.运动学

答案: t = 1 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

30 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 30/30 = 1 s

答案

t = 1 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.747 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 11.77)/10 = 2.747 m/s²

答案

a = 2.747 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 33.03 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 45° = 25.46 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 45° = 25.46 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 25.46²/(2·9.81) = 33.03 m

答案

H = 33.03 m

6.抛体运动

答案: t = 5.291 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 30° = 28.58 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 30° = 16.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 16.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.5 + √(272.2 + 981))/9.81 = 5.291 s

答案

t = 5.291 s

7.圆周运动

答案: v_max = 26.67 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·145) = 26.67 m/s

答案

v_max = 26.67 m/s (96.01 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 36.51 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(250·9.81·0.483/0.8884) = 36.51 m/s

答案

v_max = 36.51 m/s

(131.5 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 18.79 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.766 = 18.79 N

F = μN = 0.25·18.79 = 4.697 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.697·4 = 18.79 J

答案

W_f = 18.79 J

10.功和能

答案: v = 4.167 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 6.71 N

μ·mg·cos θ = 4.609 N

功–能关系

½mv² = (20 − 11.32)·2 = 17.36 J

v = √(2·17.36/2) = 4.167 m/s

答案

v = 4.167 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 160000 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·20/3200 = 10 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·20² = 320000 J

K_after = ½·3200·10² = 160000 J

损失的能量

ΔK = 320000 − 160000 = 160000 J

答案

ΔK = 160000 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 24.74 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·13) = 12.37 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·12.37/1300 = 24.74 m/s

答案

v₁ = 24.74 m/s

(89.07 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.006 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1/9.81) = 2.006 s

答案

T = 2.006 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.124 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.1·9.81/160 = 0.1288 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(160/2.1) = 8.729 rad/s

v_max = A·ω = 0.1288·8.729 = 1.124 m/s

答案

v_max = 1.124 m/s

15.波、声与光学

答案: d_i = 12.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/50

d_i = 12.5 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 12.5 cm

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 31.65 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.5248

θ = 31.65°

答案

θ₁ = 31.65°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics