物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 36 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 10 s，然后匀速行驶 21 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 10 st₂ = 21 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 25° 的角度抛出，落在 40 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 25°R = 40 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.7 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 3.7 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个半径为 210 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 210 mθ = 20°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 200 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 200 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 10 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 1 kgh = 10 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 8 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2.5 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 26 m/sv_out = 11 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 40 N/m 弹簧上的 0.9 kg 物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 7 cm 时的速度 v。

m = 0.9 kgk = 40 N/mA = 13 cmx = 7 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.8 kg 的物体连在 k = 480 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.8 kgk = 480 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

光在火石玻璃（n = 1.62）中向与冕牌玻璃（n = 1.50）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.62n₂ = 1.50

θ_c = °

16.波、声与光学困难

一个每毫米 600 条刻线的光栅，在偏离直进方向 45° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 600 mm⁻¹θ₂ = 45°m = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.333 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/3 = 3.333 s

答案

t = 3.333 s

2.运动学

答案: s = 930 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·10 = 30 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·3·10² = 150 m

s₂ = 30·21 = 630 m

s₃ = 30²/(2·3) = 150 m

总距离

s = 150 + 630 + 150 = 930 m

答案

s = 930 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 34.78 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 17.66)/11 = 2.854 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·2.854 + 17.66 = 34.78 N

答案

T = 34.78 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 22.63 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·40/sin 50°) = 22.63 m/s

答案

v₀ = 22.63 m/s

6.抛体运动

答案: t = 7.229 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 55° = 19.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 55° = 27.85 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 27.85·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27.85 + √(775.7 + 1079))/9.81 = 7.229 s

答案

t = 7.229 s

7.圆周运动

答案: n = 18.58 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·3.7)) = 1.946 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 18.58 rpm

答案

n = 18.58 rpm

8.圆周运动

答案: v_min = 17.74 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(210·9.81·0.1541/1.008) = 17.74 m/s

答案

v_min = 17.74 m/s

(63.88 km/h)

9.功和能

答案: h = 0.2446 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·200·0.06² = 0.36 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 0.36/1.472 = 0.2446 m

答案

h = 0.2446 m

10.功和能

答案: v = 9.905 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10 − 5) = 98.1 m²/s²

v = 9.905 m/s

答案

v = 9.905 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 210.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 2.5)·1.253/0.015 = 210.1 m/s

答案

v = 210.1 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 20.35 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(11 + 26) = 20.35 N·s

答案

J = 20.35 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.7303 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(40/0.9) = 6.667 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 6.667·√(0.13² − 0.07²) = 0.7303 m/s

答案

v = 0.7303 m/s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 3.789 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(480/3.8) = 11.24 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.03·11.24² = 3.789 m/s²

答案

a_max = 3.789 m/s²

15.波、声与光学

答案: θ_c = 67.81 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.50/1.62 = 0.9259

临界角

θc = arcsin(0.9259) = 67.81°

答案

θ_c = 67.81°

16.波、声与光学

答案: λ = 589.3 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 1.667 × 10⁻⁶·sin 45°/2 = 589.3 nm

答案

λ = 589.3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics