物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 18 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 4 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 100 N 的水平力拉前面 2 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 2 kgF = 100 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 65 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 45°x = 65 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 21 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 21 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 160 m 的弯道倾斜 10°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 160 mθ = 10°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 3 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.35d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 12 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 12 cmθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一个以 8 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。13 kg 的碎片以 58 m/s 继续向前运动。求 6 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 8 m/sm₁ = 13 kgv′₁ = 58 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 8.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 900 kgd = 8.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 490 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 3 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 490 N/mA = 12 cmx = 3 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 12 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 12 cmf = 8 cm

m =

16.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光垂直照射在每毫米 800 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ₂。

N = 800 mm⁻¹λ = 450 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 69.23 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·6.5) = 69.23 m

答案

s = 69.23 m

2.运动学

答案: h_max = 21.51 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

离地面的高度

h_max = 5 + 16.51 = 21.51 m

答案

h_max = 21.51 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.27 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 4)·9.81/(8 + 4) = 3.27 m/s²

答案

a = 3.27 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 81.82 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (100 − 32.37)/11 = 6.148 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(6.148 + 2.943) = 81.82 N

答案

T = 81.82 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 39.1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 40·cos 45° = 28.28 m/s

t = x/v_x = 65/28.28 = 2.298 s

此时的高度

y = 28.28·2.298 − ½·9.81·2.298² = 39.1 m

答案

y = 39.1 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: H = 48.19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 21·sin 50° = 16.09 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 16.09²/(2·9.81) = 13.19 m

离地面的高度

H = 35 + 13.19 = 48.19 m

答案

H = 48.19 m

7.圆周运动

答案: v_max = 20.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·70) = 20.3 m/s

答案

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 24.74 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(160·9.81·0.3706/0.9501) = 24.74 m/s

答案

v_max = 24.74 m/s

(89.08 km/h)

9.功和能

答案: v = 2.491 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.4226 − 0.35·0.9063)) = 2.491 m/s

答案

v = 2.491 m/s

10.功和能

答案: d = 2.523 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·3000·0.12² = 21.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 21.6/(9.81·(0.6428 + 0.3·0.766)) = 2.523 m

答案

d = 2.523 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −100.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 19·8 = 152 kg·m/s

碰撞后的动量

152 = 13·58 + 6·v′₂

v′₂ = (152 − 754)/6 = −100.3 m/s

答案

v′₂ = −100.3 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 13.46 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·8.5) = 9.132 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·9.132/1900 = 13.46 m/s

答案

v₁ = 13.46 m/s

(48.45 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.475 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

答案

T = 3.475 s

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.2205 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·490·0.12² = 3.528 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·490·0.03² = 0.2205 J

答案

U = 0.2205 J

15.波、声与光学

答案: m = −2

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/12

d_i = 24 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −24/12 = −2

答案

m = −2

16.波、声与光学

答案: θ₂ = 46.05 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·450 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.72

θ = 46.05°

答案

θ₂ = 46.05°

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