物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 15 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 15 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 32 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 32 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8 m/sθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 36 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 20 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 50°h_roof = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.2 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 40° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.2 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的球系在长 1 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.4 kgr = 1 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 15°μ = 0.15d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 25 m/sv_out = 8 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 180 N/m 弹簧上的 1.1 kg 物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的速度 v。

m = 1.1 kgk = 180 N/mA = 5 cmx = 2 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

把一个 1.3 kg 的物体挂在一根 k = 240 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 1.3 kgk = 240 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 20 cm 的薄会聚透镜前 12 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 12 cmf = 20 cm

m =

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.3 mm 的两条缝。在 1 m 外的屏上，第 2 条亮条纹距中央条纹 3.927 mm。求波长 λ。

d = 0.3 mmL = 1 my₂ = 3.927 mmm = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 90 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·15/5 = 6 s

距离

d = v·t = 15·6 = 90 m

答案

d = 90 m

此时警车的速度为 2v = 30 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 426.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 32·2.5 = 80 m/s

h₁ = ½·32·2.5² = 100 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 80²/(2·9.81) = 326.2 m

h_max = 100 + 326.2 = 426.2 m

答案

h_max = 426.2 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 4.976 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.1·cos 35°) = 6.43 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6.43) = 4.976 m

答案

d = 4.976 m

5.抛体运动

答案: t = 3.931 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 40° = 22.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 40° = 19.28 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·19.28/9.81 = 3.931 s

答案

t = 3.931 s

6.抛体运动

答案: x = 110.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 23.14 m/s, v_y = 27.58 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

20 = 27.58·t − 4.905·t²

t = (27.58 + √(27.58² − 2·9.81·20))/9.81 = 4.767 s

水平距离

x = v_x·t = 23.14·4.767 = 110.3 m

答案

x = 110.3 m

7.圆周运动

答案: T = 1.923 s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.2·sin 40° = 0.7713 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.7713·9.81·tan 40°) = 2.52 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.7713/2.52 = 1.923 s

答案

T = 1.923 s

8.圆周运动

答案: T_top = 132.9 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·1 = 104.8 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.4·104.8/1 − 1.4·9.81 = 132.9 N

答案

T_top = 132.9 N

9.功和能

答案: W_f = 142.1 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.9659 = 94.76 N

F = μN = 0.15·94.76 = 14.21 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 14.21·10 = 142.1 J

答案

W_f = 142.1 J

10.功和能

答案: x = 49.52 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(5 − 0.25·4) = 98.1 J

最大压缩量

½kx² = 98.1 → x = √(2·98.1/800) = 0.4952 m = 49.52 cm

答案

x = 49.52 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 10.18 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 2)/(3.5 + 2)·8 = 2.182 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2)·8 = 10.18 m/s

答案

v′₂ = 10.18 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 330 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(8 + 25) = 13.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 13.2/0.04 = 330 N

答案

F_avg = 330 N

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.5862 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(180/1.1) = 12.79 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 12.79·√(0.05² − 0.02²) = 0.5862 m/s

答案

v = 0.5862 m/s

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 10.63 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.3·9.81/240 = 0.05314 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.1063 m = 10.63 cm

答案

x_max = 10.63 cm

15.波、声与光学

答案: m = 2.5

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/12

d_i = −30 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−30)/12 = 2.5

答案

m = 2.5

16.波、声与光学

答案: λ = 589 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.003927·0.0003/(2·1) = 5.89 × 10⁻⁷ m = 589 nm

答案

λ = 589 nm

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