物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 22 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 22 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 17 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 30 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s、与水平方向成 60° 的角度朝 11 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 18 m/sθ = 60°x = 11 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 25°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个半径为 140 m 的弯道倾斜 12°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 140 mθ = 12°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 200 m 的弯道倾斜 8°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 200 mθ = 8°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 90 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 90 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 500 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 500 N/mx = 15 cmθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 4 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 25 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.4 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.7 s，振幅为 11 cm。它从最大位移 11 cm 处运动到位移 9.9 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.7 sA = 11 cmx = 9.9 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.65 m。声速为 343 m/s。求其第 3 次谐波的频率 f₃。

v = 343 m/sn = 3L = 0.65 m

f₃ = Hz

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 30 cm：透镜 1 的 f₁ = 8 cm，透镜 2 的 f₂ = 20 cm。一个物体位于透镜 1 前 15 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 8 cmf₂ = 20 cms = 30 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 322.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/3 = 14.67 s

距离

d = v·t = 22·14.67 = 322.7 m

答案

d = 322.7 m

此时警车的速度为 2v = 44 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 19.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

离地面的高度

h_max = 5 + 14.73 = 19.73 m

答案

h_max = 19.73 m

3.牛顿定律

答案: F = 169.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 100.7 + 69.14 = 169.8 N

答案

F = 169.8 N

4.牛顿定律

答案: T = 8.093 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 1.472)/3 = 4.415 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·4.415 + 1.472 = 8.093 N

答案

T = 8.093 N

5.抛体运动

答案: y = 11.73 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 18·cos 60° = 9 m/s

t = x/v_x = 11/9 = 1.222 s

此时的高度

y = 15.59·1.222 − ½·9.81·1.222² = 11.73 m

答案

y = 11.73 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 2.275 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 25° = 14.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 25° = 6.762 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 6.762·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.762 + √(45.72 + 196.2))/9.81 = 2.275 s

答案

t = 2.275 s

7.圆周运动

答案: v = 17.09 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(140·9.81·tan 12°) = 17.09 m/s

答案

v = 17.09 m/s

(61.51 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 8.857 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(200·9.81·0.04015/1.004) = 8.857 m/s

答案

v_min = 8.857 m/s

(31.88 km/h)

9.功和能

答案: d = 45.51 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 90/3.6 = 25 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.7·9.81) = 45.51 m

答案

d = 45.51 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: d = 0.6873 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·500·0.15² = 5.625 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5.625/(9.81·(0.6428 + 0.25·0.766)) = 0.6873 m

答案

d = 0.6873 m

11.动量与碰撞

答案: v = 296.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 4)·0.8859/0.012 = 296.2 m/s

答案

v = 296.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 15.95 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(4 + 25) = 15.95 N·s

答案

J = 15.95 N·s

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.431 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.4/2π)² = 1.431 m

答案

L = 1.431 m

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.1938 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.7 = 2.327 rad/s

求解时间

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/2.327 = 0.1938 s

答案

t = 0.1938 s

15.波、声与光学

答案: f₃ = 395.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.65/3 = 0.8667 m

频率

f = v/λ = 343/0.8667 = 395.8 Hz

答案

f₃ = 395.8 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −36 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/8 − 1/15 → d_i1 = 17.14 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 30 − 17.14 = 12.86 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/20 − 1/12.86 → d_i2 = −36 cm

答案

d_i2 = −36 cm

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