物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 80 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.6 s，之后汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 80 km/ht_r = 0.6 sa = −5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 11 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 25 m/sθ = 20°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 50 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 100 m 的弯道倾斜 8°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 100 mθ = 8°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 40 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 40 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 3.5 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 3.5 kgL = 1.2 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 310 N/m 弹簧上的 2.8 kg 物体被沿正方向拉开 11 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.8 kgk = 310 N/mA = 11 cmt = 1.45 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.2 s，振幅为 12 cm。它从平衡位置运动到位移 3.6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.2 sA = 12 cmx = 3.6 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 1.2 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 1.2 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光照射到相距 0.25 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 500 nmd = 0.25 mmL = 2 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 62.72 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 22.22·0.6 = 13.33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5) = 49.38 m

合计

d = 13.33 + 49.38 = 62.72 m

答案

d = 62.72 m

2.运动学

答案: h_max = 36.17 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9.81) = 6.167 m

离地面的高度

h_max = 30 + 6.167 = 36.17 m

答案

h_max = 36.17 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 14.72 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 2.943)/5.5 = 3.924 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·3.924 + 2.943 = 14.72 N

答案

T = 14.72 N

5.抛体运动

答案: x = 86.21 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17.21 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·17.21/9.81 = 3.508 s

水平距离

x = v_x·t = 24.57·3.508 = 86.21 m

答案

x = 86.21 m

6.抛体运动

答案: x = 66.38 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 20° = 23.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 20° = 8.551 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 8.551·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.551 + √(73.11 + 294.3))/9.81 = 2.826 s

水平距离

x = v_x·t = 23.49·2.826 = 66.38 m

答案

x = 66.38 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.81 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·50) = 19.81 m/s

答案

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 21.24 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(100·9.81·0.4363/0.9485) = 21.24 m/s

答案

v_max = 21.24 m/s

(76.47 km/h)

9.功和能

答案: d = 15.73 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.4·9.81) = 15.73 m

答案

d = 15.73 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 18.53 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(3.5 − 0.25·3.5) = 25.75 J

最大压缩量

½kx² = 25.75 → x = √(2·25.75/1500) = 0.1853 m = 18.53 cm

答案

x = 18.53 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.8571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 1.5)/(2 + 1.5)·6 = 0.8571 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1.5)·6 = 6.857 m/s

答案

v′₁ = 0.8571 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 550 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 40°) = 0.2807 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2807) = 2.347 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.515·2.347/0.015 = 550 m/s

答案

v = 550 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = −9.9 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(310/2.8) = 10.52 rad/s

ω·t = 10.52·1.45 = 15.26 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 11·cos(15.26) = −9.9 cm

答案

x = −9.9 cm

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.1552 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.2 = 1.963 rad/s

求解时间

0.3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.3) = 0.3047 rad

t = 0.3047/1.963 = 0.1552 s

答案

t = 0.1552 s

15.波、声与光学

答案: f₅ = 357.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·1.2/5 = 0.96 m

频率

f = v/λ = 343/0.96 = 357.3 Hz

答案

f₅ = 357.3 Hz

16.波、声与光学

答案: y₂ = 8 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·2/(0.25 × 10⁻³) = 4 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·4 = 8 mm

答案

y₂ = 8 mm

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