物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 2400 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 40° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 60 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 60 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 400 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 5000 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 3 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4.5 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1600 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 22 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1600 kgm₂ = 1900 kgd = 22 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 220 N/m 弹簧上的 1.5 kg 物体在无摩擦表面上以 20 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 5 cm 时的速度 v。

m = 1.5 kgk = 220 N/mA = 20 cmx = 5 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 90 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 6 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 90 N/mA = 9 cmx = 6 cm

U = J

15.波、声与光学中等

频率为 300 Hz 的声源以 20 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 486 nm 的光垂直照射在每毫米 100 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 100 mm⁻¹λ = 486 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.778 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·2400) = 0.778 m/s²

答案

a = 0.778 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 46.51 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

离地面的高度

h_max = 30 + 16.51 = 46.51 m

答案

h_max = 46.51 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.306 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答案

a = 6.306 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.138 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·7.029) = 1.138 m

答案

d = 1.138 m

5.抛体运动

答案: H = 8.257 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 45° = 12.73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 45° = 12.73 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 12.73²/(2·9.81) = 8.257 m

答案

H = 8.257 m

6.抛体运动

答案: H = 20.1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 20·sin 30° = 10 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

H = 15 + 5.097 = 20.1 m

答案

H = 20.1 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.16 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·60) = 17.16 m/s

答案

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.132 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1) = 3.132 m/s

答案

v_min = 3.132 m/s

9.功和能

答案: h = 0.3398 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·400·0.05² = 0.5 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 0.5/1.472 = 0.3398 m

答案

h = 0.3398 m

10.功和能

答案: d = 3.888 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·5000·0.1² = 25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 25/(9.81·(0.5736 + 0.1·0.8192)) = 3.888 m

答案

d = 3.888 m

11.动量与碰撞

答案: v = 346 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4.5)·0.7672/0.01 = 346 m/s

答案

v = 346 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 35.2 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·22) = 16.09 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·16.09/1600 = 35.2 m/s

答案

v₁ = 35.2 m/s

(126.7 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 2.345 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(220/1.5) = 12.11 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 12.11·√(0.2² − 0.05²) = 2.345 m/s

答案

v = 2.345 m/s

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.162 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·90·0.09² = 0.3645 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·90·0.06² = 0.162 J

答案

U = 0.162 J

15.波、声与光学

答案: f′ = 283.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 20)

f′ = 283.5 Hz

答案

f′ = 283.5 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₃ = 8.384 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·486 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.1458

θ = 8.384°

答案

θ₃ = 8.384°

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