运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一辆以恒定的 26 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2.5 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。
vcar = 26 m/sapolice = 2.5 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 两球何时相遇？求 t。
H = 40 mv0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
一个 9 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 9 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 8.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。
m1 = 8.5 kgm2 = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
一个球从水平地面以 28 m/s 抛出，必须落在 65 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。
v₀ = 28 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
一个球从地面以 26 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。
v₀ = 26 m/sθ = 40°hroof = 8 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一辆汽车通过半径为 135 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。
r = 135 mμs = 0.7g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
一个 0.3 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。
m = 0.3 kgr = 1.5 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 6 m 后的速度 v。
θ = 40°μ = 0.1d = 6 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.功和能困难
一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 1 kgh = 3 mL = 4 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。
m1 = 1 kgm2 = 1.5 kgv1 = 4 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
12.动量与碰撞困难
一辆 900 kg 的汽车撞上一辆停放的 900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 15.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v1。
m1 = 900 kgm2 = 900 kgd = 15.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²
v1 = m/s
13.弹簧与单摆中等
一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.88 s。求该行星上的重力加速度 g。
L = 1 mT = 1.88 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
一个连在 k = 230 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。 求它距平衡位置 9 cm 时的动能 K。
k = 230 N/mA = 13 cmx = 9 cm
K = J
15.波、声与光学中等
对于入射角大于 24.4° 的每一个角度，透明块内的光在与甘油（n = 1.47）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n1。
θc = 24.4°n2 = 1.47
n1 =
16.波、声与光学困难
一根光纤的纤芯 n₁ = 1.48，包层 n₂ = 1.46。求它的数值孔径 NA。
n1 = 1.48n2 = 1.46
NA =
3溶液
1.运动学
答案: t = 20.8 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
距离相等
v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/2.5 = 20.8 s
答案
t = 20.8 s
此时警车的速度为 2v = 52 m/s。
2.运动学
答案: t = 1.6 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
相遇时间
向上为正，地面为 y = 0。
40 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 40/25 = 1.6 s
答案
t = 1.6 s
3.牛顿定律
答案: a = 2.356 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²
答案
a = 2.356 m/s²
4.牛顿定律
答案: a = 1.78 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (49.05 − 25.02)/13.5 = 1.78 m/s²
答案
a = 1.78 m/s²
5.抛体运动
答案: θ = 27.21 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
射程公式
R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/28² = 0.8133
相角
2θ = 54.42° → θ = 27.21°
答案
θ = 27.21°
另一个解为 90° − θ = 62.79°。
6.抛体运动
答案: x = 56.39 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
分解初速度
vx = 19.92 m/s, vy = 16.71 m/s
落到屋顶的时间
较大的根：球正在下降。
8 = 16.71·t − 4.905·t²
t = (16.71 + √(16.71² − 2·9.81·8))/9.81 = 2.831 s
水平距离
x = vx·t = 19.92·2.831 = 56.39 m
答案
x = 56.39 m
7.圆周运动
答案: vmax = 30.45 m/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
摩擦力提供向心力
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·135) = 30.45 m/s
答案
vmax = 30.45 m/s (109.6 km/h)
8.圆周运动
答案: T = 10.14 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
最低点处的受力
指向圆心（向上）为正。
T − m·g = m·v²/r
T = 0.3·9.81 + 0.3·6²/1.5 = 2.943 + 7.2 = 10.14 N
答案
T = 10.14 N
9.功和能
答案: v = 8.164 m/s
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
沿斜面的能量衡算
物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。
½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·6·(0.6428 − 0.1·0.766)) = 8.164 m/s
答案
v = 8.164 m/s
10.功和能
答案: x = 9.396 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 9.81·(3 − 0.3·4) = 17.66 J
最大压缩量
½kx² = 17.66 → x = √(2·17.66/4000) = 0.09396 m = 9.396 cm
答案
x = 9.396 cm
11.动量与碰撞
答案: v′2 = 3.2 m/s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
与静止物体的弹性碰撞
联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。
v′1 = (1 − 1.5)/(1 + 1.5)·4 = −0.8 m/s
v′2 = 2·1/(1 + 1.5)·4 = 3.2 m/s
答案
v′2 = 3.2 m/s
12.动量与碰撞
答案: v1 = 31.2 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
碰撞后的速度
V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·15.5) = 15.6 m/s
碰撞中的动量
m1·v1 = (m1 + m2)·V → v1 = 1800·15.6/900 = 31.2 m/s
答案
v1 = 31.2 m/s
(112.3 km/h)
13.弹簧与单摆
答案: g = 11.17 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
求 g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1/1.88² = 11.17 m/s²
答案
g = 11.17 m/s²
14.弹簧与单摆
答案: K = 1.012 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
总能量
E = ½·k·A² = ½·230·0.13² = 1.944 J
x 处的弹簧能量
U = ½·k·x² = ½·230·0.09² = 0.9315 J
动能
K = 1.944 − 0.9315 = 1.012 J
答案
K = 1.012 J
15.波、声与光学
答案: n1 = 3.558
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
透明块的折射率
n₁ = n₂/sin θc = 1.47/0.4131 = 3.558
答案
n1 = 3.558
16.波、声与光学
答案: NA = 0.2425
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
包层处的临界角
sin θc = 1.46/1.48 = 0.9865 → θc = 80.57°
数值孔径
NA = √(1.48² − 1.46²) = 0.2425
答案
NA = 0.2425
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