物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 30 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 18 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 30 mv_0B = 18 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 20 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 25°x = 20 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 33 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 2 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 50° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 2 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一辆 1.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 13.5 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 3 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 1.5 kgh = 13.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 20°μ = 0.2d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 2 mL = 2 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 14 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.4 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.2 kg 的物体连在 k = 400 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.2 kgk = 400 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

两端固定的弦的第 4 次谐波必须为 267 Hz；波在其上以 200 m/s 传播。求其长度 L。

v = 200 m/sn = 4f₄ = 267 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 500 nmd = 0.5 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 44.89 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5.5) = 44.89 m

答案

s = 44.89 m

2.运动学

答案: t = 1.667 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

30 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 30/18 = 1.667 s

答案

t = 1.667 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.618 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答案

a = 3.618 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.462 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 4.905)/8.5 = 3.462 m/s²

答案

a = 3.462 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 7.483 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 36·cos 25° = 32.63 m/s

t = x/v_x = 20/32.63 = 0.613 s

此时的高度

y = 15.21·0.613 − ½·9.81·0.613² = 7.483 m

答案

y = 7.483 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 5.288 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 40° = 25.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 40° = 21.21 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 21.21·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21.21 + √(449.9 + 490.5))/9.81 = 5.288 s

答案

t = 5.288 s

7.圆周运动

答案: T = 2.275 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 2·sin 50° = 1.532 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.532·9.81·tan 50°) = 4.232 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·1.532/4.232 = 2.275 s

答案

T = 2.275 s

8.圆周运动

答案: N_top = 58.86 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(13.5 − 2·3) = 147.2 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 1.5·147.2/3 − 14.71 = 58.86 N

答案

N_top = 58.86 N

9.功和能

答案: W_f = 73.75 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9397 = 18.44 N

F = μN = 0.2·18.44 = 3.687 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.687·20 = 73.75 J

答案

W_f = 73.75 J

10.功和能

答案: v = 5.943 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.1·2) = 70.63 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.8) = 5.943 m/s

答案

v = 5.943 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 1)/(0.5 + 1)·9 = −3 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1)·9 = 6 m/s

答案

v′₂ = 6 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 3.4 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(20 + 14) = 3.4 N·s

答案

J = 3.4 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.108 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.4/9.81) = 3.108 s

答案

T = 3.108 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 5 m/s²

角频率

ω = √(400/3.2) = 11.18 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.04·11.18² = 5 m/s²

答案

a_max = 5 m/s²

15.波、声与光学

答案: L = 1.498 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 200/267 = 0.7491 m

长度

L = nλ/2 = 4·0.7491/2 = 1.498 m

答案

L = 1.498 m

16.波、声与光学

答案: Δy = 2.5 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·2.5/(0.5 × 10⁻³) = 2.5 mm

答案

Δy = 2.5 mm

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