物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1.5 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 6 s，然后匀速行驶 16 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 6 st₂ = 16 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 115 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；10 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 1 kgF = 115 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 125 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 125 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3.2 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 17.05 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 5.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 0.5 kgh = 17.05 mR = 5.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 6 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 25° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 5000 N/mx = 20 cmθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 7 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 2.5 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 15 m/sv_out = 12 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 60 N/m 弹簧上的 3.8 kg 物体在无摩擦表面上以 20 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 16 cm 时的速度 v。

m = 3.8 kgk = 60 N/mA = 20 cmx = 16 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

把一个 3 kg 的物体挂在一根 k = 190 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 3 kgk = 190 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波、声与光学中等

一个高 3 cm 的物体位于焦距为 25 cm 的薄发散透镜前 15 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 3 cmd_o = 15 cmf = −25 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y₃。

λ = 480 nmd = 0.1 mmL = 1 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 33.69 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.5 = 20.83 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7.5) = 12.86 m

合计

d = 20.83 + 12.86 = 33.69 m

答案

d = 33.69 m

2.运动学

答案: s = 252 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·6 = 12 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·6² = 36 m

s₂ = 12·16 = 192 m

s₃ = 12²/(2·3) = 24 m

总距离

s = 36 + 192 + 24 = 252 m

答案

s = 252 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 104.5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 16.19)/11 = 8.983 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(8.983 + 1.472) = 104.5 N

答案

T = 104.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 36.12 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·125/sin 110°) = 36.12 m/s

答案

v₀ = 36.12 m/s

6.抛体运动

答案: x = 92.22 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 20° = 32.89 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 20° = 11.97 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 11.97·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.97 + √(143.3 + 98.1))/9.81 = 2.804 s

水平距离

x = v_x·t = 32.89·2.804 = 92.22 m

答案

x = 92.22 m

7.圆周运动

答案: ω = 1.958 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·3.2)) = 1.958 rad/s

答案

ω = 1.958 rad/s

8.圆周运动

答案: N_bottom = 35.32 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·17.05 = 334.5 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 0.5·334.5/5.5 + 4.905 = 35.32 N

答案

N_bottom = 35.32 N

9.功和能

答案: v = 6.641 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·6·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 6.641 m/s

答案

v = 6.641 m/s

10.功和能

答案: d = 16.88 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·5000·0.2² = 100 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 100/(9.81·(0.4226 + 0.2·0.9063)) = 16.88 m

答案

d = 16.88 m

11.动量与碰撞

答案: v = 294.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 2.5)·1.172/0.01 = 294.2 m/s

答案

v = 294.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 9.45 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(12 + 15) = 9.45 N·s

答案

J = 9.45 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.4768 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(60/3.8) = 3.974 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 3.974·√(0.2² − 0.16²) = 0.4768 m/s

答案

v = 0.4768 m/s

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 30.98 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 3·9.81/190 = 0.1549 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.3098 m = 30.98 cm

答案

x_max = 30.98 cm

15.波、声与光学

答案: h_i = 1.875 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/15

d_i = −9.375 cm

放大率与像高

m = −(−9.375)/15 = 0.625

h_i = 0.625·3 = 1.875 cm

答案

h_i = 1.875 cm

16.波、声与光学

答案: y₃ = 14.4 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1/(0.1 × 10⁻³) = 4.8 mm

第 3 条条纹

y₃ = 3·4.8 = 14.4 mm

答案

y₃ = 14.4 mm

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