物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 36 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 36 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 2 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 4.5 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 15 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 15 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 21 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.8 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 20° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一辆 3 kg 的小车在无摩擦轨道上从 27.95 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 6.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 3 kgh = 27.95 mR = 6.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 25°μ = 0.35d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 35 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.1。求物块沿斜坡向上移动 8 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 35 Nθ = 15°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 29 m/sv_out = 13 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 40 N/m 弹簧上的 1.4 kg 物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。

m = 1.4 kgk = 40 N/mA = 13 cmx = 6 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 4 kg 的物体连在 k = 390 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 4 kgk = 390 N/mA = 15 cm

E = J

15.波、声与光学中等

对于入射角大于 35° 的每一个角度，透明块内的光在与水（n = 1.33）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 35°n₂ = 1.33

n₁ =

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 15 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 12.06 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·8) = 12.06 m

答案

s = 12.06 m

2.运动学

答案: t = 13.21 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 36·1.5 = 54 m/s

h₁ = ½·36·1.5² = 40.5 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (54 + √(54² + 2·9.81·40.5))/9.81 = 11.71 s

t = 1.5 + 11.71 = 13.21 s

答案

t = 13.21 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.243 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

答案

a = 6.243 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 20.78 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 6.71 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.687 N

系统的加速度

a = (44.15 − 6.71 − 3.687)/6.5 = 5.192 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4.5·(9.81 − 5.192) = 20.78 N

答案

T = 20.78 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 12.51 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·15/sin 70°) = 12.51 m/s

答案

v₀ = 12.51 m/s

6.抛体运动

答案: x = 68.07 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 45° = 14.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 45° = 14.85 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 14.85·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.85 + √(220.5 + 686.7))/9.81 = 4.584 s

水平距离

x = v_x·t = 14.85·4.584 = 68.07 m

答案

x = 68.07 m

7.圆周运动

答案: T = 2.609 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.8·sin 20° = 0.6156 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6156·9.81·tan 20°) = 1.483 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.6156/1.483 = 2.609 s

答案

T = 2.609 s

8.圆周运动

答案: N_bottom = 282.5 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·27.95 = 548.4 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 3·548.4/6.5 + 29.43 = 282.5 N

答案

N_bottom = 282.5 N

9.功和能

答案: W_f = 10.89 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9063 = 4.445 N

F = μN = 0.35·4.445 = 1.556 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.556·7 = 10.89 J

答案

W_f = 10.89 J

10.功和能

答案: v = 7.498 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 12.7 N

μ·mg·cos θ = 4.738 N

功–能关系

½mv² = (35 − 17.43)·8 = 140.5 J

v = √(2·140.5/5) = 7.498 m/s

答案

v = 7.498 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 888.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4)·2.215/0.01 = 888.1 m/s

答案

v = 888.1 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 6.3 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(13 + 29) = 6.3 N·s

答案

J = 6.3 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.6164 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(40/1.4) = 5.345 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 5.345·√(0.13² − 0.06²) = 0.6164 m/s

答案

v = 0.6164 m/s

14.弹簧与单摆

答案: E = 4.388 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(390/4) = 9.874 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·390·0.15² = 4.388 J

答案

E = 4.388 J

15.波、声与光学

答案: n₁ = 2.319

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.33/0.5736 = 2.319

答案

n₁ = 2.319

16.波、声与光学

答案: f″ = 43659 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 15)/343 = 41749 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 15) = 43659 Hz

答案

f″ = 43659 Hz

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