物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)4.274 s27.78

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −6.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 19 m/s30 m

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 20°a = ?m = 19 kg

一个 19 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 2 kg6 kgμ = 0.3

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 2 kgm2 = 6 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 32 m/s60°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 32 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 5 mv0​ = 35 m/s55°H = ?

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 35 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 35 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
r = 140 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 140 mμs = 0.5g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
θ = 12°指向圆心vmin​ = ?

一个半径为 220 m 的弯道倾斜 12°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。 求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 vmin。

r = 220 mθ = 12°μs = 0.1g = 9.81 m/s²
vmin = m/s
9.功和能中等
100 km/h

一辆汽车在水平路面上以 100 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 100 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²
d = m
10.功和能困难
h = 2 mL = 2 mμ = 0.3k = 2500 N/m

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 2 mμ = 0.3k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
2.5 kg5 m/s3.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 2.5 kgm2 = 3.5 kgv1 = 5 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
27 m/s19 m/s

一个 0.15 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.15 kgvin = 27 m/svout = 19 m/sΔt = 50 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
L = ?

要使单摆的周期为 2.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.5 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
4 kgk = 1200 N/m300 m/s

一颗以 300 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 4 kg 木块中。木块连在一根 k = 1200 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 300 m/sM = 4 kgk = 1200 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
FFdo​ = 18 cmf = −20 cm

一个物体位于焦距为 20 cm 的薄发散透镜前 18 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

do = 18 cmf = −20 cm
m =
16.波、声与光学困难
f1​ = 10 cmf2​ = 5 cm40 cm25 cm

两个薄透镜共轴，相距 25 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 10 cmf2 = 5 cms = 25 cmdo = 40 cm
di2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 59.35 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·6.5) = 59.35 m

答案

s = 59.35 m
2.运动学

答案: hmax = 48.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

离地面的高度

hmax = 30 + 18.4 = 48.4 m

答案

hmax = 48.4 m
3.牛顿定律

答案: a = 2.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答案

a = 2.433 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 19.13 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (58.86 − 5.886)/8 = 6.622 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 2·6.622 + 5.886 = 19.13 N

答案

T = 19.13 N
5.抛体运动

答案: x = 90.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s
vy = v0·sin θ = 32·sin 60° = 27.71 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·27.71/9.81 = 5.65 s

水平距离

x = vx·t = 16·5.65 = 90.4 m

答案

x = 90.4 m
6.抛体运动

答案: H = 46.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 35·sin 55° = 28.67 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 28.67²/(2·9.81) = 41.9 m

离地面的高度

H = 5 + 41.9 = 46.9 m

答案

H = 46.9 m
7.圆周运动

答案: vmax = 26.2 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·140) = 26.2 m/s

答案

vmax = 26.2 m/s (94.34 km/h)
8.圆周运动

答案: vmin = 15.42 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r
N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(220·9.81·0.1101/0.9989) = 15.42 m/s

答案

vmin = 15.42 m/s
(55.52 km/h)
9.功和能

答案: d = 65.55 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.6·9.81) = 65.55 m

答案

d = 65.55 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 5.241 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.3·2) = 6.867 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.4) = 5.241 m/s

答案

v = 5.241 m/s
11.动量与碰撞

答案: v′1 = −0.8333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (2.5 − 3.5)/(2.5 + 3.5)·5 = −0.8333 m/s
v′2 = 2·2.5/(2.5 + 3.5)·5 = 4.167 m/s

答案

v′1 = −0.8333 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: Favg = 138 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(19 + 27) = 6.9 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 6.9/0.05 = 138 N

答案

Favg = 138 N
13.弹簧与单摆

答案: L = 1.553 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.5/2π)² = 1.553 m

答案

L = 1.553 m
14.弹簧与单摆

答案: A = 5.188 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·300/4.012 = 0.8973 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1200/4.012) = 17.29 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.8973/17.29 = 0.05188 m = 5.188 cm

答案

A = 5.188 cm
15.波、声与光学

答案: m = 0.5263

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−20) − 1/18
di = −9.474 cm
FF18 cmf = −20 cm

放大率

m = −di/do = −(−9.474)/18 = 0.5263

答案

m = 0.5263
16.波、声与光学

答案: di2 = 8.75 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/10 − 1/40 → di1 = 13.33 cm

透镜 2 的物

do2 = 25 − 13.33 = 11.67 cm

最终的像

1/di2 = 1/5 − 1/11.67 → di2 = 8.75 cm

答案

di2 = 8.75 cm

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