物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 8 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 7.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 57 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 7.5 m/sd = 57 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 4 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 12 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 70°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 30 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 30 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 3 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 3 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 800 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 800 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 7 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.25 kgv_in = 9 m/sv_out = 5 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 330 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体在无摩擦表面上以 10 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。

m = 2.6 kgk = 330 N/mA = 10 cmx = 6 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 450 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 9 cm 时的动能 K。

k = 450 N/mA = 12 cmx = 9 cm

K = J

15.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 1 m 处的声级为 100 dB。忽略吸收和反射，求 8 m 处的声级 β₂。

β₁ = 100 dBr₁ = 1 mr₂ = 8 m

β₂ = dB

16.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 633 nma = 0.12 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 21.37 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·6.5) = 21.37 m

答案

s = 21.37 m

2.运动学

答案: h_max = 18.26 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9.81) = 3.262 m

离地面的高度

h_max = 15 + 3.262 = 18.26 m

答案

h_max = 18.26 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.0503

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 7.5²/(2·57) = 0.4934 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4934/9.81 = 0.0503

答案

μ = 0.0503

4.牛顿定律

答案: a = 1.696 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 25.22 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.509 N

系统的加速度

a = (44.15 − 25.22 − 4.509)/8.5 = 1.696 m/s²

答案

a = 1.696 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 28.6 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 60° = 9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 60° = 15.59 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·15.59/9.81 = 3.178 s

水平距离

x = v_x·t = 9·3.178 = 28.6 m

答案

x = 28.6 m

6.抛体运动

答案: H = 46.48 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 12·sin 70° = 11.28 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 11.28²/(2·9.81) = 6.481 m

离地面的高度

H = 40 + 6.481 = 46.48 m

答案

H = 46.48 m

7.圆周运动

答案: v_max = 14.35 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·30) = 14.35 m/s

答案

v_max = 14.35 m/s (51.67 km/h)

8.圆周运动

答案: h_min = 7.5 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·3 = 7.5 m

答案

h_min = 7.5 m

9.功和能

答案: h = 0.5872 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·800·0.06² = 1.44 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 1.44/2.453 = 0.5872 m

答案

h = 0.5872 m

10.功和能

答案: v = 2.801 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(1 − 0.3·2) = 7.848 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.4) = 2.801 m/s

答案

v = 2.801 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 118.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2)·1.172/0.02 = 118.4 m/s

答案

v = 118.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 3.5 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(5 + 9) = 3.5 N·s

答案

J = 3.5 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.9013 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(330/2.6) = 11.27 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.27·√(0.1² − 0.06²) = 0.9013 m/s

答案

v = 0.9013 m/s

14.弹簧与单摆

答案: K = 1.417 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·450·0.12² = 3.24 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·450·0.09² = 1.823 J

动能

K = 3.24 − 1.823 = 1.417 J

答案

K = 1.417 J

15.波、声与光学

答案: β₂ = 81.94 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (1/8)² = 0.01563

新的声级

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0.01563) = 81.94 dB

答案

β₂ = 81.94 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.3022 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.005275

θ = 0.3022°

答案

θ₁ = 0.3022°

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