物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 10 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 10 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 10 mv_0B = 10 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 45° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 60°R = 35 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 100 km/h 通过半径为 270 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 270 mv = 100 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 0.7 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 1.5 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 11 m/s 向东行驶的 1400 kg 汽车与一辆以 18 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1400 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 18 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 0.5 kg 的物体连在 k = 320 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.5 kgk = 320 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 12 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = 12 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 50 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = 15 cm。一个物体位于透镜 1 前 25 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 10 cmf₂ = 15 cms = 50 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 25.25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m

答案

s = 25.25 m

2.运动学

答案: t = 1 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

10 − ½g·t² = 10·t − ½g·t² → t = 10/10 = 1 s

答案

t = 1 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.937 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答案

a = 6.937 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 29.43 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 9.81)/10 = 3.924 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·3.924 + 9.81 = 29.43 N

答案

T = 29.43 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 19.91 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·35/sin 120°) = 19.91 m/s

答案

v₀ = 19.91 m/s

6.抛体运动

答案: x = 108.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 15° = 28.01 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 15° = 7.506 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 7.506·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.506 + √(56.34 + 882.9))/9.81 = 3.889 s

水平距离

x = v_x·t = 28.01·3.889 = 108.9 m

答案

x = 108.9 m

7.圆周运动

答案: θ = 16.24 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 27.78²/(270·9.81) = 0.2913

θ = 16.24°

答案

θ = 16.24°

8.圆周运动

答案: T = 30.37 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·8²/0.7 = 2.943 + 27.43 = 30.37 N

答案

T = 30.37 N

9.功和能

答案: d = 35.96 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.7·9.81) = 35.96 m

答案

d = 35.96 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 16.33 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4 − 0.3·2) = 66.71 J

最大压缩量

½kx² = 66.71 → x = √(2·66.71/5000) = 0.1633 m = 16.33 cm

答案

x = 16.33 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 223.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 1.5)·2.215/0.015 = 223.7 m/s

答案

v = 223.7 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 9.87 m/s

动量分量

p_x = 1400·11 = 15400 kg·m/s

p_y = 1000·18 = 18000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 23689/2400 = 9.87 m/s

答案

v′ = 9.87 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.7181 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m

答案

L = 0.7181 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.783 m/s

角频率

ω = √(320/0.5) = 25.3 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.11·25.3 = 2.783 m/s

答案

v_max = 2.783 m/s

15.波、声与光学

答案: d_i = 15.79 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/50

d_i = 15.79 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 15.79 cm

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 27.27 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/10 − 1/25 → d_i1 = 16.67 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 50 − 16.67 = 33.33 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/15 − 1/33.33 → d_i2 = 27.27 cm

答案

d_i2 = 27.27 cm

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