物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 10 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 10 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 35 kgθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 10 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 25 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 25 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 6.4 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 2 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 0.5 kgh = 6.4 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一辆 1500 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 500 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1500 kgθ = 4°F_r = 500 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 1.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 16 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1100 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1700 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 11 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 1700 kgd = 11 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 2.6 kg 的物体连在 k = 120 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2.6 kgk = 120 N/mA = 7 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

两端固定的弦长 1.5 m；波在其上以 200 m/s 传播。求其第 3 次谐波的频率 f₃。

v = 200 m/sn = 3L = 1.5 m

f₃ = Hz

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 25 cm：透镜 1 的 f₁ = 20 cm，透镜 2 的 f₂ = 20 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 20 cmf₂ = 20 cms = 25 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 112.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4) = 112.5 m

答案

s = 112.5 m

2.运动学

答案: t = 0.4348 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

10 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 10/23 = 0.4348 s

答案

t = 0.4348 s

3.牛顿定律

答案: F = 122 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 88.87 + 33.17 = 122 N

答案

F = 122 N

4.牛顿定律

答案: a = 2.308 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/8.5 = 2.308 m/s²

答案

a = 2.308 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 1.274 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 30° = 8.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 30° = 5 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 5²/(2·9.81) = 1.274 m

答案

H = 1.274 m

6.抛体运动

答案: t = 3.06 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 20° = 18.79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 20° = 6.84 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 6.84·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.84 + √(46.79 + 490.5))/9.81 = 3.06 s

答案

t = 3.06 s

7.圆周运动

答案: v_max = 13.1 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·25) = 13.1 m/s

答案

v_max = 13.1 m/s (47.17 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 6.867 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(6.4 − 2·2) = 47.09 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 0.5·47.09/2 − 4.905 = 6.867 N

答案

N_top = 6.867 N

9.功和能

答案: P = 30.53 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N

F = 1026 + 500 = 1526 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1526·20 = 30529 W = 30.53 kW

答案

P = 30.53 kW

10.功和能

答案: x = 10.15 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(1.5 − 0.1·4.5) = 25.75 J

最大压缩量

½kx² = 25.75 → x = √(2·25.75/5000) = 0.1015 m = 10.15 cm

答案

x = 10.15 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 49694 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·16/1700 = 10.35 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·16² = 140800 J

K_after = ½·1700·10.35² = 91106 J

损失的能量

ΔK = 140800 − 91106 = 49694 J

答案

ΔK = 49694 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 23.29 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·11) = 12.29 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·12.29/1900 = 23.29 m/s

答案

v₁ = 23.29 m/s

(83.84 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.096 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

答案

L = 1.096 m

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 3.231 m/s²

角频率

ω = √(120/2.6) = 6.794 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.07·6.794² = 3.231 m/s²

答案

a_max = 3.231 m/s²

15.波、声与光学

答案: f₃ = 200 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.5/3 = 1 m

频率

f = v/λ = 200/1 = 200 Hz

答案

f₃ = 200 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 8.571 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/20 − 1/40 → d_i1 = 40 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 25 − 40 = −15 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/20 − 1/(−15) → d_i2 = 8.571 cm

答案

d_i2 = 8.571 cm

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