物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
a = ?s = 800 m

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 800 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 800 m
a = m/s²
2.运动学困难
d = ?

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

ttotal = 4.5 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
箱子v₀ = 9.5 m/sμ = ?

一个箱子以 9.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 11 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 9.5 m/sd = 11 mg = 9.81 m/s²
μ =
4.牛顿定律困难
m1​ = 5 kg4.5 kgμ = 0.25

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 5 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
49 my = ?v0​ = 40 m/s45°

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 49 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 45°x = 49 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
h = 10 mv0​ = 12 m/s40°射程

一个球 从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 12 m/sθ = 40°h = 10 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.圆周运动中等
r = 145 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 145 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 145 mμs = 0.6g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
r = 1.4 mv = 3.5 m/s

一个 0.2 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.2 kgr = 1.4 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
20°d = 14 mμ = 0.15

一个 4 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.15d = 14 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
h = 6 mR = 1.5 mN = ?

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 6 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 6 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²
N = N
11.动量与碰撞中等
3 kg2 m/s2.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 3 kgm2 = 2.5 kgv1 = 2 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
22 m/s5 m/s

一个 0.45 kg 的小球以 22 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.45 kgvin = 22 m/svout = 5 m/sΔt = 20 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
L = 1 m

一个单摆的摆长为 1 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
1 kgk = 2000 N/m350 m/s

一颗以 350 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 2000 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 8 gv = 350 m/sM = 1 kgk = 2000 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
80 dB?5 m15 m

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 5 m 处的声级为 80 dB。忽略吸收和反射，求 15 m 处的声级 β2。

β1 = 80 dBr1 = 5 mr2 = 15 m
β2 = dB
16.波、声与光学困难
λ = 589 nmd = 0.1 mmL = 3 my = ?

波长为 589 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 5 条亮条纹的距离 y5。

λ = 589 nmd = 0.1 mmL = 3 mm = 5
y5 = mm

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.334 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·800) = 2.334 m/s²

答案

a = 2.334 m/s²
2.运动学

答案: d = 88.29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.5 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1544))/(2·4.905) = 4.243 s

深度

d = ½·9.81·4.243² = 88.29 m

答案

d = 88.29 m
3.牛顿定律

答案: μ = 0.4182

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 9.5²/(2·11) = 4.102 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4.102/9.81 = 0.4182

答案

μ = 0.4182
4.牛顿定律

答案: a = 3.356 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 12.26)/9.5 = 3.356 m/s²

答案

a = 3.356 m/s²
5.抛体运动

答案: y = 34.28 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

vx = 40·cos 45° = 28.28 m/s
t = x/vx = 49/28.28 = 1.732 s

此时的高度

y = 28.28·1.732 − ½·9.81·1.732² = 34.28 m

答案

y = 34.28 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 2.416 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 12·cos 40° = 9.193 m/s
vy = v0·sin θ = 12·sin 40° = 7.713 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 7.713·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (7.713 + √(59.5 + 196.2))/9.81 = 2.416 s

答案

t = 2.416 s
7.圆周运动

答案: vmax = 29.21 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·145) = 29.21 m/s

答案

vmax = 29.21 m/s (105.2 km/h)
8.圆周运动

答案: T = 3.712 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 0.2·9.81 + 0.2·3.5²/1.4 = 1.962 + 1.75 = 3.712 N

答案

T = 3.712 N
9.功和能

答案: Wf = 77.43 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.9397 = 36.87 N
F = μN = 0.15·36.87 = 5.531 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 5.531·14 = 77.43 J

答案

Wf = 77.43 J
10.功和能

答案: N = 294.3 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 3) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N
N = mv²/R − mg = 10·58.86/1.5 − 98.1 = 294.3 N

答案

N = 294.3 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′1 = 0.1818 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·2 = 0.1818 m/s
v′2 = 2·3/(3 + 2.5)·2 = 2.182 m/s

答案

v′1 = 0.1818 m/s
12.动量与碰撞

答案: Favg = 607.5 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(5 + 22) = 12.15 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 12.15/0.02 = 607.5 N

答案

Favg = 607.5 N
13.弹簧与单摆

答案: T = 2.006 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1/9.81) = 2.006 s

答案

T = 2.006 s
14.弹簧与单摆

答案: A = 6.236 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.008·350/1.008 = 2.778 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/1.008) = 44.54 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.778/44.54 = 0.06236 m = 6.236 cm

答案

A = 6.236 cm
15.波、声与光学

答案: β2 = 70.46 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (5/15)² = 0.1111

新的声级

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0.1111) = 70.46 dB

答案

β2 = 70.46 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: y5 = 88.35 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·3/(0.1 × 10⁻³) = 17.67 mm

第 5 条条纹

y5 = 5·17.67 = 88.35 mm

答案

y5 = 88.35 mm

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