物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.2 s，之后汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/ht_r = 1.2 sa = −7 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 17 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 130 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；7 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 1 kgF = 130 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 52 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 50°x = 52 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 13 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.3 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.3 kgr = 1.2 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 90°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 1.5 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 4 mL = 4.5 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 22 m/s 水平运动的 11 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。5 kg 的碎片以 51 m/s 继续向前运动。求 6 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 11 kgu = 22 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 51 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 19 m/s 向东行驶的 1300 kg 汽车与一辆以 22 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1300 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 22 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.06 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.7 mT = 1.06 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 16 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的动能 K。

k = 320 N/mA = 16 cmx = 2 cm

K = J

15.波、声与光学中等

光在甘油（n = 1.47）中向与乙醇（n = 1.36）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.47n₂ = 1.36

θ_c = °

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求从中央亮条纹到第 4 条亮条纹的距离 y₄。

λ = 532 nmd = 0.3 mmL = 2 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 100.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 30·1.2 = 36 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7) = 64.29 m

合计

d = 36 + 64.29 = 100.3 m

答案

d = 100.3 m

2.运动学

答案: d = 18.57 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 686 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·686))/(2·4.905) = 1.946 s

深度

d = ½·9.81·1.946² = 18.57 m

答案

d = 18.57 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.421 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

答案

a = 4.421 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 113.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 7.848)/8 = 15.27 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(15.27 + 0.981) = 113.8 N

答案

T = 113.8 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 37.2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 36·cos 50° = 23.14 m/s

t = x/v_x = 52/23.14 = 2.247 s

此时的高度

y = 27.58·2.247 − ½·9.81·2.247² = 37.2 m

答案

y = 37.2 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 3.802 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 25° = 11.78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 25° = 5.494 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 5.494·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.494 + √(30.18 + 981))/9.81 = 3.802 s

答案

t = 3.802 s

7.圆周运动

答案: v_max = 19.56 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·130) = 19.56 m/s

答案

v_max = 19.56 m/s (70.42 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 91.02 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·8.5²/1.2 = 12.75 + 78.27 = 91.02 N

答案

T = 91.02 N

9.功和能

答案: T = 29.43 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 90°) = 29.43 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·29.43/1.5 = 29.43 N

答案

T = 29.43 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 29.43 N。

10.功和能

答案: v = 8.077 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.15·4.5) = 81.55 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.325) = 8.077 m/s

答案

v = 8.077 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −2.167 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 11·22 = 242 kg·m/s

碰撞后的动量

242 = 5·51 + 6·v′₂

v′₂ = (242 − 255)/6 = −2.167 m/s

答案

v′₂ = −2.167 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 14.38 m/s

动量分量

p_x = 1300·19 = 24700 kg·m/s

p_y = 1000·22 = 22000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 33077/2300 = 14.38 m/s

答案

v′ = 14.38 m/s

13.弹簧与单摆

答案: g = 24.59 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.7/1.06² = 24.59 m/s²

答案

g = 24.59 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: K = 4.032 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·320·0.16² = 4.096 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·320·0.02² = 0.064 J

动能

K = 4.096 − 0.064 = 4.032 J

答案

K = 4.032 J

15.波、声与光学

答案: θ_c = 67.69 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.47 = 0.9252

临界角

θc = arcsin(0.9252) = 67.69°

答案

θ_c = 67.69°

16.波、声与光学

答案: y₄ = 14.19 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2/(0.3 × 10⁻³) = 3.547 mm

第 4 条条纹

y₄ = 4·3.547 = 14.19 mm

答案

y₄ = 14.19 mm

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