物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 26 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 26 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 34 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 34 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 40 kgθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 14 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 31 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 9 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 31 m/sθ = 50°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 95 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 95 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 1.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 25.5 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 7.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 1.5 kgh = 25.5 mR = 7.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.1d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 155 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 3 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 155 Nθ = 20°μ = 0.15d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 9.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 900 kgm₂ = 1800 kgd = 9.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 410 N/m 弹簧上的 3.3 kg 物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 5 cm 时的速度 v。

m = 3.3 kgk = 410 N/mA = 6 cmx = 5 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 2.6 kg 的物体连在 k = 150 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 19 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.6 kgk = 150 N/mA = 19 cm

E = J

15.波、声与光学中等

观察者以 20 m/s 的速度远离频率为 1000 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.47。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.5n₂ = 1.47

NA =

3溶液

1.运动学

答案: t = 17.33 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/3 = 17.33 s

答案

t = 17.33 s

此时警车的速度为 2v = 52 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 474.5 m

动力阶段

v₁ = 34·2.5 = 85 m/s

h₁ = ½·34·2.5² = 106.3 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 85²/(2·9.81) = 368.2 m

h_max = 106.3 + 368.2 = 474.5 m

答案

h_max = 474.5 m

3.牛顿定律

答案: F = 215.3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 101.6 + 113.7 = 215.3 N

答案

F = 215.3 N

4.牛顿定律

答案: T = 40.99 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 26.49)/14 = 1.612 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·1.612 + 26.49 = 40.99 N

答案

T = 40.99 N

5.抛体运动

答案: x = 15.31 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 65° = 5.917 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 65° = 12.69 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·12.69/9.81 = 2.587 s

水平距离

x = v_x·t = 5.917·2.587 = 15.31 m

答案

x = 15.31 m

6.抛体运动

答案: x = 88.21 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 19.93 m/s, v_y = 23.75 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

9 = 23.75·t − 4.905·t²

t = (23.75 + √(23.75² − 2·9.81·9))/9.81 = 4.427 s

水平距离

x = v_x·t = 19.93·4.427 = 88.21 m

答案

x = 88.21 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.31 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·95) = 19.31 m/s

答案

v_max = 19.31 m/s (69.51 km/h)

8.圆周运动

答案: N_bottom = 114.8 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·25.5 = 500.3 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 1.5·500.3/7.5 + 14.71 = 114.8 N

答案

N_bottom = 114.8 N

9.功和能

答案: W_f = 59.47 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.866 = 84.96 N

F = μN = 0.1·84.96 = 8.496 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.496·7 = 59.47 J

答案

W_f = 59.47 J

10.功和能

答案: v = 4.251 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 67.1 N

μ·mg·cos θ = 27.66 N

功–能关系

½mv² = (155 − 94.76)·3 = 180.7 J

v = √(2·180.7/20) = 4.251 m/s

答案

v = 4.251 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 5)/(1 + 5)·9 = −6 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 5)·9 = 3 m/s

答案

v′₂ = 3 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 36.63 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·9.5) = 12.21 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·12.21/900 = 36.63 m/s

答案

v₁ = 36.63 m/s

(131.9 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.3697 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(410/3.3) = 11.15 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.15·√(0.06² − 0.05²) = 0.3697 m/s

答案

v = 0.3697 m/s

14.弹簧与单摆

答案: E = 2.708 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(150/2.6) = 7.596 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·150·0.19² = 2.708 J

答案

E = 2.708 J

15.波、声与光学

答案: f′ = 941.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 941.7 Hz

答案

f′ = 941.7 Hz

16.波、声与光学

答案: NA = 0.2985

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.47/1.5 = 0.98 → θc = 78.52°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.47²) = 0.2985

答案

NA = 0.2985

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