物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 36 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.9 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 36 km/ht_r = 0.9 sa = −4 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 45 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 35°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 60 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 60 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 3 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.1d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 3.5 mL = 5 mμ = 0.15k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 5 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4.5 kgh = 5 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 23 m/sv_out = 8 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 310 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 5 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 310 N/mA = 9 cmx = 5 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 10 m 处的声级为 60 dB。忽略吸收和反射，求 50 m 处的声级 β₂。

β₁ = 60 dBr₁ = 10 mr₂ = 50 m

β₂ = dB

16.波、声与光学困难

一个每毫米 600 条刻线的光栅，在偏离直进方向 81.9° 处出现某条谱线的第 3 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 600 mm⁻¹θ₃ = 81.9°m = 3

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 21.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 10·0.9 = 9 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·4) = 12.5 m

合计

d = 9 + 12.5 = 21.5 m

答案

d = 21.5 m

2.运动学

答案: d = 35.65 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 960.4 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·960.4))/(2·4.905) = 2.696 s

深度

d = ½·9.81·2.696² = 35.65 m

答案

d = 35.65 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.206 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

答案

a = 3.206 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.102 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 9.81)/14 = 2.102 m/s²

答案

a = 2.102 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 21.67 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·45/sin 70°) = 21.67 m/s

答案

v₀ = 21.67 m/s

6.抛体运动

答案: t = 5.092 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 35° = 18.84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 35° = 13.19 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 13.19·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.19 + √(174 + 1177))/9.81 = 5.092 s

答案

t = 5.092 s

7.圆周运动

答案: v_max = 17.16 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·60) = 17.16 m/s

答案

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.971 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答案

v_min = 2.971 m/s

9.功和能

答案: v = 4.933 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.5 − 0.1·0.866)) = 4.933 m/s

答案

v = 4.933 m/s

10.功和能

答案: v = 7.345 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.15·5) = 269.8 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.75) = 7.345 m/s

答案

v = 7.345 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 446.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.05) = 0.9905 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4.5)·0.9905/0.01 = 446.7 m/s

答案

v = 446.7 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 620 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(8 + 23) = 12.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 12.4/0.02 = 620 N

答案

F_avg = 620 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.236 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

答案

L = 2.236 m

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.3875 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·310·0.09² = 1.255 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·310·0.05² = 0.3875 J

答案

U = 0.3875 J

15.波、声与光学

答案: β₂ = 46.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (10/50)² = 0.04

新的声级

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0.04) = 46.02 dB

答案

β₂ = 46.02 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: λ = 550 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 1.667 × 10⁻⁶·sin 81.9°/3 = 550 nm

答案

λ = 550 nm

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