物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 120 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 120 km/ht_r = 1 sa = −4 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 2 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 2 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 4.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 6.5 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 30 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 16 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.2 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 2 kgr = 0.5 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.15d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 2.5 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgv_in = 15 m/sv_out = 11 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 0.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 0.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

把一个 0.8 kg 的物体挂在一根 k = 240 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 0.8 kgk = 240 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个高 2 cm 的物体位于焦距为 15 cm 的薄发散透镜前 20 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 2 cmd_o = 20 cmf = −15 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光通过一条宽 0.08 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 589 nma = 0.08 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 172.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1 = 33.33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·4) = 138.9 m

合计

d = 33.33 + 138.9 = 172.2 m

答案

d = 172.2 m

2.运动学

答案: d = 92.03 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1578 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1578))/(2·4.905) = 4.332 s

深度

d = ½·9.81·4.332² = 92.03 m

答案

d = 92.03 m

3.牛顿定律

答案: T = 31.39 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 2)·9.81/(8 + 2) = 5.886 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9.81 + 5.886) = 31.39 N

答案

T = 31.39 N

4.牛顿定律

答案: a = 3.166 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 25.32 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.616 N

系统的加速度

a = (63.77 − 25.32 − 3.616)/11 = 3.166 m/s²

答案

a = 3.166 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 11.47 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

答案

H = 11.47 m

6.抛体运动

答案: x = 59.57 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 25° = 14.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 25° = 6.762 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 6.762·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.762 + √(45.72 + 1079))/9.81 = 4.108 s

水平距离

x = v_x·t = 14.5·4.108 = 59.57 m

答案

x = 59.57 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.524 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·2.2)) = 2.524 rad/s

答案

ω = 2.524 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 163.6 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·6²/0.5 = 19.62 + 144 = 163.6 N

答案

T = 163.6 N

9.功和能

答案: v = 7.129 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.5 − 0.15·0.866)) = 7.129 m/s

答案

v = 7.129 m/s

10.功和能

答案: x = 16.61 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2.5 − 0.1·2.5) = 11.04 J

最大压缩量

½kx² = 11.04 → x = √(2·11.04/800) = 0.1661 m = 16.61 cm

答案

x = 16.61 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.9091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 1.5)/(4 + 1.5)·2 = 0.9091 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1.5)·2 = 2.909 m/s

答案

v′₁ = 0.9091 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 5.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(11 + 15) = 5.2 N·s

答案

J = 5.2 N·s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.2013 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.9/2π)² = 0.2013 m

答案

L = 0.2013 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5664 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.8·9.81/240 = 0.0327 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(240/0.8) = 17.32 rad/s

v_max = A·ω = 0.0327·17.32 = 0.5664 m/s

答案

v_max = 0.5664 m/s

15.波、声与光学

答案: h_i = 0.8571 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/20

d_i = −8.571 cm

放大率与像高

m = −(−8.571)/20 = 0.4286

h_i = 0.4286·2 = 0.8571 cm

答案

h_i = 0.8571 cm

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.4218 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.007362

θ = 0.4218°

答案

θ₁ = 0.4218°

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