物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 28 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 28 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 2.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 6.4 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 2.5 m/sd = 6.4 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 6.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 20° 的角度抛出，落在 70 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 20°R = 70 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 22 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 2 kgr = 0.8 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 5 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.3d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 1 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 7 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3.5 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 14 m/s 向东行驶的 800 kg 汽车与一辆以 14 m/s 向北行驶的 2000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 800 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 14 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 230 N/m 弹簧上的 1.4 kg 物体在无摩擦表面上以 19 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 14 cm 时的速度 v。

m = 1.4 kgk = 230 N/mA = 19 cmx = 14 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 4 kg 的物体连在 k = 30 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 4 kgk = 30 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 40 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 40 cmf = 5 cm

m =

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光通过一条宽 0.05 mm 的单缝。求第 3 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₃。

λ = 500 nma = 0.05 mmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 392 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/4 = 14 s

距离

d = v·t = 28·14 = 392 m

答案

d = 392 m

此时警车的速度为 2v = 56 m/s。

2.运动学

答案: t = 3.446 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.446 s

答案

t = 3.446 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.04977

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·6.4) = 0.4883 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4883/9.81 = 0.04977

答案

μ = 0.04977

4.牛顿定律

答案: T = 41.59 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 49.05 N

m₁·g·sin θ = 31.88 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (49.05 − 31.88 − 0)/11.5 = 1.493 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 5·(9.81 − 1.493) = 41.59 N

答案

T = 41.59 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 32.69 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·70/sin 40°) = 32.69 m/s

答案

v₀ = 32.69 m/s

6.抛体运动

答案: t = 3.923 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 40° = 16.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 40° = 14.14 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 14.14·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.14 + √(200 + 392.4))/9.81 = 3.923 s

答案

t = 3.923 s

7.圆周运动

答案: v_max = 25.25 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·130) = 25.25 m/s

答案

v_max = 25.25 m/s (90.91 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 109.6 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·6²/0.8 = 19.62 + 90 = 109.6 N

答案

T = 109.6 N

9.功和能

答案: v = 6.365 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 6.365 m/s

答案

v = 6.365 m/s

10.功和能

答案: x = 95 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.2·1) = 225.6 J

最大压缩量

½kx² = 225.6 → x = √(2·225.6/500) = 0.95 m = 95 cm

答案

x = 95 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 343 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3.5)·1.172/0.012 = 343 m/s

答案

v = 343 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 68.2 °

动量分量

p_x = 800·14 = 11200 kg·m/s

p_y = 2000·14 = 28000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 2.5 → θ = 68.2°

答案

θ = 68.2°

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.646 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(230/1.4) = 12.82 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 12.82·√(0.19² − 0.14²) = 1.646 m/s

答案

v = 1.646 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.05477 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(30/4) = 2.739 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.02·2.739 = 0.05477 m/s

答案

v_max = 0.05477 m/s

15.波、声与光学

答案: m = −0.1429

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/40

d_i = 5.714 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −5.714/40 = −0.1429

答案

m = −0.1429

16.波、声与光学

答案: θ₃ = 1.719 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.03

θ = 1.719°

答案

θ₃ = 1.719°

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