物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1.1 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.3 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.3 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 12 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 12 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 150 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 150 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.7 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 30°μ = 0.2d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 23 m/s 向东行驶的 1200 kg 汽车与一辆以 23 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1200 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 23 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 3.6 kg 的物体连在 k = 80 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 18 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.6 kgk = 80 N/mA = 18 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

对于入射角大于 40° 的每一个角度，透明块内的光在与空气（n = 1.00）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 40°n₂ = 1.00

n₁ =

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 40 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = −15 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 12 cmf₂ = −15 cms = 40 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 24.17 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.1 = 13.75 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7.5) = 10.42 m

合计

d = 13.75 + 10.42 = 24.17 m

答案

d = 24.17 m

2.运动学

答案: d = 48.9 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.3 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1132 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1132))/(2·4.905) = 3.157 s

深度

d = ½·9.81·3.157² = 48.9 m

答案

d = 48.9 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 15.74 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 3.434)/6 = 3.515 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·3.515 + 3.434 = 15.74 N

答案

T = 15.74 N

5.抛体运动

答案: t = 2.499 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 50° = 10.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 50° = 12.26 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·12.26/9.81 = 2.499 s

答案

t = 2.499 s

6.抛体运动

答案: α = 55.71 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 12·cos 30° = 10.39 m/s

v_y0 = 12·sin 30° = 6 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(6² + 2·9.81·10) = 15.24 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 15.24/10.39 → α = 55.71°

答案

α = 55.71°

7.圆周运动

答案: v_max = 24.26 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·150) = 24.26 m/s

答案

v_max = 24.26 m/s (87.34 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.62 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.7) = 2.62 m/s

答案

v_min = 2.62 m/s

9.功和能

答案: W_f = 11.89 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.866 = 8.496 N

F = μN = 0.2·8.496 = 1.699 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.699·7 = 11.89 J

答案

W_f = 11.89 J

10.功和能

答案: v = 2.476 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·1 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.1·49.05·1 = 4.905 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 24.52 → v = √(2·24.52/8) = 2.476 m/s

答案

v = 2.476 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.154 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 2)/(4.5 + 2)·3 = 1.154 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 2)·3 = 4.154 m/s

答案

v′₂ = 4.154 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 47.29 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1200·23 = 27600 kg·m/s

p_y = 1300·23 = 29900 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.083 → θ = 47.29°

答案

θ = 47.29°

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.7181 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m

答案

L = 0.7181 m

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 4 m/s²

角频率

ω = √(80/3.6) = 4.714 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.18·4.714² = 4 m/s²

答案

a_max = 4 m/s²

15.波、声与光学

答案: n₁ = 1.556

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.6428 = 1.556

答案

n₁ = 1.556

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −9.057 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/12 − 1/40 → d_i1 = 17.14 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 40 − 17.14 = 22.86 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/22.86 → d_i2 = −9.057 cm

答案

d_i2 = −9.057 cm

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