物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 32 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 32 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 13 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11.5 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 30 m/sR = 35 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 33 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 33 m/sθ = 50°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.6 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 3.6 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的球系在长 1.4 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.7 kgr = 1.4 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 35°μ = 0.35d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 4.5 mL = 1 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 11 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 23 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1000 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 23 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 430 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 5 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 430 N/mA = 13 cmx = 5 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.4 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 0.4 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.2 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求从中央亮条纹到第 5 条亮条纹的距离 y₅。

λ = 480 nmd = 0.2 mmL = 2 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 85.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·4.5) = 85.73 m

答案

s = 85.73 m

2.运动学

答案: h_max = 153.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 32·1.5 = 48 m/s

h₁ = ½·32·1.5² = 36 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 48²/(2·9.81) = 117.4 m

h_max = 36 + 117.4 = 153.4 m

答案

h_max = 153.4 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.823 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答案

a = 4.823 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 9.408 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·7.029) = 9.408 m

答案

d = 9.408 m

5.抛体运动

答案: θ = 11.21 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·35/30² = 0.3815

相角

2θ = 22.43° → θ = 11.21°

答案

θ = 11.21°

另一个解为 90° − θ = 78.79°。

6.抛体运动

答案: H = 62.57 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 33·sin 50° = 25.28 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 25.28²/(2·9.81) = 32.57 m

离地面的高度

H = 30 + 32.57 = 62.57 m

答案

H = 62.57 m

7.圆周运动

答案: n = 18.84 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·3.6)) = 1.973 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 18.84 rpm

答案

n = 18.84 rpm

8.圆周运动

答案: T_top = 20.79 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10.5² − 4·9.81·1.4 = 55.31 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.7·55.31/1.4 − 0.7·9.81 = 20.79 N

答案

T_top = 20.79 N

9.功和能

答案: W_f = 16.88 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.8192 = 4.018 N

F = μN = 0.35·4.018 = 1.406 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.406·12 = 16.88 J

答案

W_f = 16.88 J

10.功和能

答案: x = 29.38 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(4.5 − 0.1·1) = 215.8 J

最大压缩量

½kx² = 215.8 → x = √(2·215.8/5000) = 0.2938 m = 29.38 cm

答案

x = 29.38 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·9 = −1 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·9 = 8 m/s

答案

v′₁ = −1 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: θ = 64.44 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1000·11 = 11000 kg·m/s

p_y = 1000·23 = 23000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 2.091 → θ = 64.44°

答案

θ = 64.44°

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.475 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

答案

T = 3.475 s

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.5375 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·430·0.13² = 3.634 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·430·0.05² = 0.5375 J

答案

U = 0.5375 J

15.波、声与光学

答案: f₅ = 1072 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.4/5 = 0.32 m

频率

f = v/λ = 343/0.32 = 1072 Hz

答案

f₅ = 1072 Hz

16.波、声与光学

答案: y₅ = 24 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2/(0.2 × 10⁻³) = 4.8 mm

第 5 条条纹

y₅ = 5·4.8 = 24 mm

答案

y₅ = 24 mm

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