物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 35 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 35 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 190 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 190 Nθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 27 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 24 m/sθ = 65°x = 27 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 34 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 34 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 85 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 85 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 4 kg 的小车在无摩擦轨道上从 29.45 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 9.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 4 kgh = 29.45 mR = 9.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 3 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 3.5 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.2 kgv_in = 28 m/sv_out = 8 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.4 kg 的物体连在 k = 140 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.4 kgk = 140 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

光在亚克力（n = 1.49）中向与水（n = 1.33）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.49n₂ = 1.33

θ_c = °

16.波、声与光学困难

静止的传感器向以 10 m/s 的速度靠近的汽车发射 25 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 408.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/6 = 11.67 s

距离

d = v·t = 35·11.67 = 408.3 m

答案

d = 408.3 m

此时警车的速度为 2v = 70 m/s。

2.运动学

答案: d = 30.9 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 891.8 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·891.8))/(2·4.905) = 2.51 s

深度

d = ½·9.81·2.51² = 30.9 m

答案

d = 30.9 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.91 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 190·sin 35° = 87.22 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 155.6 − 17.44

a = 138.2/20 = 6.91 m/s²

答案

a = 6.91 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.962 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 7.848)/11 = 1.962 m/s²

答案

a = 1.962 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 23.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 24·cos 65° = 10.14 m/s

t = x/v_x = 27/10.14 = 2.662 s

此时的高度

y = 21.75·2.662 − ½·9.81·2.662² = 23.14 m

答案

y = 23.14 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: α = 50.44 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 34·cos 30° = 29.44 m/s

v_y0 = 34·sin 30° = 17 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(17² + 2·9.81·50) = 35.64 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 35.64/29.44 → α = 50.44°

答案

α = 50.44°

7.圆周运动

答案: v_max = 25.83 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·85) = 25.83 m/s

答案

v_max = 25.83 m/s (92.98 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 47.09 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(29.45 − 2·9.5) = 205 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 4·205/9.5 − 39.24 = 47.09 N

答案

N_top = 47.09 N

9.功和能

答案: d = 35.96 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.7·9.81) = 35.96 m

答案

d = 35.96 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 18.2 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.2·1.5) = 66.22 J

最大压缩量

½kx² = 66.22 → x = √(2·66.22/4000) = 0.182 m = 18.2 cm

答案

x = 18.2 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 179.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 3.5)·0.7672/0.015 = 179.8 m/s

答案

v = 179.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 1440 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(8 + 28) = 7.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 7.2/0.005 = 1440 N

答案

F_avg = 1440 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.837 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2/9.81) = 2.837 s

答案

T = 2.837 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.4 m/s

角频率

ω = √(140/1.4) = 10 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.04·10 = 0.4 m/s

答案

v_max = 0.4 m/s

15.波、声与光学

答案: θ_c = 63.2 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.49 = 0.8926

临界角

θc = arcsin(0.8926) = 63.2°

答案

θ_c = 63.2°

16.波、声与光学

答案: f_b = 1502 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 25000·(343 + 10)/343 = 25729 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 10) = 26502 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 1502 Hz

答案

f_b = 1502 Hz

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