物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 800 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 800 m

v = m/s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 28 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 65 N 的水平力拉前面 11 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 11 kgF = 65 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 16 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 28 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 15 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 65°h_roof = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.5 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.5 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 0.8 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.2d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 1 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgμ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 22 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgv_in = 22 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 380 N/m 弹簧上的 2.7 kg 物体在无摩擦表面上以 18 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 2.7 kgk = 380 N/mA = 18 cmx = 1 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 40 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 10 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 9 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 40 N/mA = 10 cmx = 9 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一个高 2 cm 的物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 18 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 2 cmd_o = 18 cmf = 8 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ₂。

N = 300 mm⁻¹λ = 450 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: v = 69.28 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3·800) = 69.28 m/s

答案

v = 69.28 m/s

(249.4 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 485.6 m

动力阶段

v₁ = 28·3 = 84 m/s

h₁ = ½·28·3² = 126 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 84²/(2·9.81) = 359.6 m

h_max = 126 + 359.6 = 485.6 m

答案

h_max = 485.6 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.896 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答案

a = 5.896 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 27.37 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 46.6)/19 = 0.9686 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(0.9686 + 2.453) = 27.37 N

答案

T = 27.37 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 5.391 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 40° = 12.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 40° = 10.28 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 10.28²/(2·9.81) = 5.391 m

答案

H = 5.391 m

6.抛体运动

答案: x = 53.17 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 11.83 m/s, v_y = 25.38 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

15 = 25.38·t − 4.905·t²

t = (25.38 + √(25.38² − 2·9.81·15))/9.81 = 4.493 s

水平距离

x = v_x·t = 11.83·4.493 = 53.17 m

答案

x = 53.17 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.801 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·2.5)) = 2.801 rad/s

答案

ω = 2.801 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 33.34 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·5.5²/0.8 = 6.867 + 26.47 = 33.34 N

答案

T = 33.34 N

9.功和能

答案: W_f = 213.4 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.9063 = 88.91 N

F = μN = 0.2·88.91 = 17.78 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 17.78·12 = 213.4 J

答案

W_f = 213.4 J

10.功和能

答案: v = 3.132 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 9.81·3 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.25·19.62·3 = 14.71 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 14.71 → v = √(2·14.71/3) = 3.132 m/s

答案

v = 3.132 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·4 = 2.667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·4 = 6.667 m/s

答案

v′₂ = 6.667 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 18.45 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(19 + 22) = 18.45 N·s

答案

J = 18.45 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 2.132 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(380/2.7) = 11.86 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.86·√(0.18² − 0.01²) = 2.132 m/s

答案

v = 2.132 m/s

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.162 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·40·0.1² = 0.2 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·40·0.09² = 0.162 J

答案

U = 0.162 J

15.波、声与光学

答案: h_i = −1.6 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/18

d_i = 14.4 cm

放大率与像高

m = −14.4/18 = −0.8

h_i = −0.8·2 = −1.6 cm

答案

h_i = −1.6 cm

16.波、声与光学

答案: θ₂ = 15.66 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·450 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.27

θ = 15.66°

答案

θ₂ = 15.66°

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