物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 120 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.9 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 120 km/ht_r = 0.9 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 7 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 8.5 kg 和 1.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 6.5 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 130 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 130 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.4 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 35° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.4 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的球系在长 0.6 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.7 kgr = 0.6 mv_bottom = 11 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 45°μ = 0.2d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 5 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 16 m/sv_out = 8 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.8 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.68 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.8 mT = 1.68 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 0.4 kg 的物体连在 k = 210 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 0.4 kgk = 210 N/mA = 17 cm

E = J

15.波、声与光学中等

对于入射角大于 40° 的每一个角度，透明块内的光在与亚克力（n = 1.49）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 40°n₂ = 1.49

n₁ =

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 16 cm 的凸面镜前 4 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 4 cmR = 16 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 122.6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 33.33·0.9 = 30 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6) = 92.59 m

合计

d = 30 + 92.59 = 122.6 m

答案

d = 122.6 m

2.运动学

答案: h_max = 17.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9.81) = 2.497 m

离地面的高度

h_max = 15 + 2.497 = 17.5 m

答案

h_max = 17.5 m

3.牛顿定律

答案: T = 25.02 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8.5 − 1.5)·9.81/(8.5 + 1.5) = 6.867 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 1.5·(9.81 + 6.867) = 25.02 N

答案

T = 25.02 N

4.牛顿定律

答案: T = 18.63 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 6.219 N

μ·m₁·g·cos θ = 2 N

系统的加速度

a = (63.77 − 6.219 − 2)/8 = 6.943 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6.5·(9.81 − 6.943) = 18.63 N

答案

T = 18.63 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 36.84 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·130/sin 70°) = 36.84 m/s

答案

v₀ = 36.84 m/s

6.抛体运动

答案: x = 37.02 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 35° = 14.74 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 35° = 10.32 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 10.32·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.32 + √(106.6 + 98.1))/9.81 = 2.511 s

水平距离

x = v_x·t = 14.74·2.511 = 37.02 m

答案

x = 37.02 m

7.圆周运动

答案: v = 1.255 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.4·sin 35° = 0.2294 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.2294·9.81·tan 35°) = 1.255 m/s

答案

v = 1.255 m/s

8.圆周运动

答案: T_top = 259.4 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11² − 4·9.81·0.6 = 97.46 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.7·97.46/0.6 − 1.7·9.81 = 259.4 N

答案

T_top = 259.4 N

9.功和能

答案: W_f = 62.43 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.7071 = 34.68 N

F = μN = 0.2·34.68 = 6.937 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.937·9 = 62.43 J

答案

W_f = 62.43 J

10.功和能

答案: x = 27.59 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(5 − 0.1·1.5) = 190.3 J

最大压缩量

½kx² = 190.3 → x = √(2·190.3/5000) = 0.2759 m = 27.59 cm

答案

x = 27.59 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12.86 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 1)/(2.5 + 1)·9 = 3.857 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 1)·9 = 12.86 m/s

答案

v′₂ = 12.86 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 300 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(8 + 16) = 6 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 6/0.02 = 300 N

答案

F_avg = 300 N

13.弹簧与单摆

答案: g = 11.19 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.8/1.68² = 11.19 m/s²

答案

g = 11.19 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: E = 3.035 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(210/0.4) = 22.91 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·210·0.17² = 3.035 J

答案

E = 3.035 J

15.波、声与光学

答案: n₁ = 2.318

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.49/0.6428 = 2.318

答案

n₁ = 2.318

16.波、声与光学

答案: d_i = −2.667 cm

焦距

f = −R/2 = −8 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/4

d_i = −2.667 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −2.667 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics