物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 3.5 m/s²汽车24 m/s

一辆以恒定的 24 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。

vcar = 24 m/sapolice = 3.5 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
a = 24 m/s²

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 24 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 24 m/s²t1 = 1.5 sg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
10 kg7 kg

质量为 10 kg 和 7 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 10 kgm2 = 7 kgg = 9.81 m/s²
T = N
4.牛顿定律困难
m1​ = 7.5 kg3.5 kgμ = 0.3

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 7.5 kgm2 = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 20 m/sθ = ?R = 20 m

一个球从水平地面以 20 m/s 抛出，必须落在 20 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 20 m/sR = 20 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
h = 15 mv0​ = 12 m/s55°x = ?

一个球 从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 12 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
θ = 18°指向圆心v = ?

一个半径为 90 m 的弯道倾斜 18°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 90 mθ = 18°g = 9.81 m/s²
v = m/s
8.圆周运动困难
R = 1.5 mh = ?

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 hmin 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 1.5 mv₀ = 0
hmin = m
9.功和能中等
45°d = 20 mμ = 0.2

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 20 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.2d = 20 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.功和能困难
h = 4 mL = 1 mμ = 0.3k = 2500 N/m

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 4 mL = 1 mμ = 0.3k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
1800 kg13 m/s1900 kg

一辆以 13 m/s 行驶的 1800 kg 汽车撞上一辆静止的 1900 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m1 = 1800 kgv1 = 13 m/sm2 = 1900 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
20 m/s13 m/s

一个 0.15 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgvin = 20 m/svout = 13 m/sΔt = 10 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
L = 1.7 mT = 4.25 s

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.25 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.7 mT = 4.25 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
t (s)x (cm)t = ?3.75

一个物体做简谐振动，周期为 3.4 s，振幅为 5 cm。 它从平衡位置运动到位移 3.75 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.4 sA = 5 cmx = 3.75 cm
t = s
15.波、声与光学中等
48.8°90°n1​ = ?水, n2​ = 1.33

对于入射角大于 48.8° 的每一个角度，透明块内的光在与水（n = 1.33）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n1。

θc = 48.8°n2 = 1.33
n1 =
16.波、声与光学困难
Fdo​ = 30 cmR = 24 cm

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凹面镜前 30 cm 处。求像距 di，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

do = 30 cmR = 24 cm
di = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 13.71 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·24/3.5 = 13.71 s

答案

t = 13.71 s

此时警车的速度为 2v = 48 m/s。

2.运动学

答案: t = 9.525 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 24·1.5 = 36 m/s
h₁ = ½·24·1.5² = 27 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (36 + √(36² + 2·9.81·27))/9.81 = 8.025 s
t = 1.5 + 8.025 = 9.525 s

答案

t = 9.525 s
3.牛顿定律

答案: T = 80.79 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (10 − 7)·9.81/(10 + 7) = 1.731 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m2·g = m2·a → T = 7·(9.81 + 1.731) = 80.79 N

答案

T = 80.79 N
4.牛顿定律

答案: T = 30.43 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (34.34 − 22.07)/11 = 1.115 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 7.5·1.115 + 22.07 = 30.43 N

答案

T = 30.43 N
5.抛体运动

答案: θ = 14.69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·20/20² = 0.4905

相角

2θ = 29.37° → θ = 14.69°

答案

θ = 14.69°

另一个解为 90° − θ = 75.31°。

6.抛体运动

答案: x = 20.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 12·cos 55° = 6.883 m/s
vy = v0·sin θ = 12·sin 55° = 9.83 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 9.83·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (9.83 + √(96.63 + 294.3))/9.81 = 3.017 s

水平距离

x = vx·t = 6.883·3.017 = 20.77 m

答案

x = 20.77 m
7.圆周运动

答案: v = 16.94 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(90·9.81·tan 18°) = 16.94 m/s

答案

v = 16.94 m/s
(60.97 km/h)
8.圆周运动

答案: hmin = 3.75 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·1.5 = 3.75 m

答案

hmin = 3.75 m
9.功和能

答案: v = 14.9 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·20·(0.7071 − 0.2·0.7071)) = 14.9 m/s

答案

v = 14.9 m/s
10.功和能

答案: v = 8.52 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4 − 0.3·1) = 145.2 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.7) = 8.52 m/s

答案

v = 8.52 m/s
11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 51.35 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1800·13/3700 = 6.324 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·1800·13² = 152100 J
Kafter = ½·3700·6.324² = 73995 J

损失的比例

ΔK/K = 78105/152100 = 51.35 %

答案

ΔK/K = 51.35 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 4.95 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(13 + 20) = 4.95 N·s

答案

J = 4.95 N·s
13.弹簧与单摆

答案: g = 3.716 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.7/4.25² = 3.716 m/s²

答案

g = 3.716 m/s²
14.弹簧与单摆

答案: t = 0.4589 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.4 = 1.848 rad/s

求解时间

0.75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.75) = 0.8481 rad
t = 0.8481/1.848 = 0.4589 s

答案

t = 0.4589 s
15.波、声与光学

答案: n1 = 1.768

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.33/0.7524 = 1.768

答案

n1 = 1.768
16.波、声与光学

答案: di = 20 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 12 cm

镜面方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/12 − 1/30
di = 20 cm
F30 cmf = 12 cm

光线图

镜前的实像

答案

di = 20 cm

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