运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。
v₀ = 120 km/ha = −3 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.9 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。
ttotal = 1.9 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
一个 4 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 4 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。
m1 = 3 kgm2 = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。
v0 = 14 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
一个球从地面以 31 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。
v₀ = 31 m/sθ = 70°hroof = 8 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一辆 1300 kg 的汽车以 8 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 55 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。
m = 1300 kgv = 8 m/sr = 55 mg = 9.81 m/s²
N = N
8.圆周运动困难
一个 1.1 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。
m = 1.1 kgr = 0.9 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 10 m 后的速度 v。
θ = 40°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.功和能困难
一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 0.5 kgh = 2.5 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 18 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。
m = 8 gM = 1 kgh = 18 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.动量与碰撞困难
一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.3 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。
m = 10 gM = 3 kgL = 1.3 mθ = 40°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.弹簧与单摆中等
一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.09 s。求该行星上的重力加速度 g。
L = 0.9 mT = 3.09 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
一颗以 500 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 600 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。
m = 8 gv = 500 m/sM = 1 kgk = 600 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
两端固定的弦的第 5 次谐波必须为 500 Hz；波在其上以 300 m/s 传播。求其长度 L。
v = 300 m/sn = 5f5 = 500 Hz
L = m
16.波、声与光学困难
一个衍射光栅每毫米有 1200 条刻线。波长为 633 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 mmax？
N = 1200 mm⁻¹λ = 633 nm
mmax =
3溶液
1.运动学
答案: s = 185.2 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s
制动距离
0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·3) = 185.2 m
答案
s = 185.2 m
2.运动学
答案: d = 16.81 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
时间的两部分
½·9.81·t₁² = 343·(1.9 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 651.7 = 0
下落时间
只有正根有物理意义。
t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·651.7))/(2·4.905) = 1.851 s
深度
d = ½·9.81·1.851² = 16.81 m
答案
d = 16.81 m
3.牛顿定律
答案: a = 3.257 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²
答案
a = 3.257 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 10.79 N
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (14.71 − 2.943)/4.5 = 2.616 m/s²
由桌面上的物块求张力
T − μ·m1·g = m1·a
T = 3·2.616 + 2.943 = 10.79 N
答案
T = 10.79 N
5.抛体运动
答案: t = 2.018 s
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 14·cos 45° = 9.899 m/s
vy = v0·sin θ = 14·sin 45° = 9.899 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·9.899/9.81 = 2.018 s
答案
t = 2.018 s
6.抛体运动
答案: x = 59.91 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
分解初速度
vx = 10.6 m/s, vy = 29.13 m/s
落到屋顶的时间
较大的根：球正在下降。
8 = 29.13·t − 4.905·t²
t = (29.13 + √(29.13² − 2·9.81·8))/9.81 = 5.65 s
水平距离
x = vx·t = 10.6·5.65 = 59.91 m
答案
x = 59.91 m
7.圆周运动
答案: N = 11240 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
顶点的受力
指向圆心（向下）为正。
m·g − N = m·v²/r
N = 1300·9.81 − 1300·8²/55 = 12753 − 1513 = 11240 N
答案
N = 11240 N
汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。
8.圆周运动
答案: T = 99.1 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
最低点处的受力
指向圆心（向上）为正。
T − m·g = m·v²/r
T = 1.1·9.81 + 1.1·8.5²/0.9 = 10.79 + 88.31 = 99.1 N
答案
T = 99.1 N
9.功和能
答案: v = 9.001 m/s
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
沿斜面的能量衡算
物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。
½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·10·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 9.001 m/s
答案
v = 9.001 m/s
10.功和能
答案: x = 12.63 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 4.905·(2.5 − 0.25·3.5) = 7.971 J
最大压缩量
½kx² = 7.971 → x = √(2·7.971/1000) = 0.1263 m = 12.63 cm
答案
x = 12.63 cm
11.动量与碰撞
答案: v = 236.8 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
撞击后的摆动
V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.18) = 1.879 m/s
碰撞
m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1)·1.879/0.008 = 236.8 m/s
答案
v = 236.8 m/s
12.动量与碰撞
答案: v = 735.3 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
木块的上升高度
h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 40°) = 0.3041 m
撞击后的速度
V = √(2·9.81·0.3041) = 2.443 m/s
碰撞
v = (m + M)·V/m = 3.01·2.443/0.01 = 735.3 m/s
答案
v = 735.3 m/s
13.弹簧与单摆
答案: g = 3.721 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
求 g
g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/3.09² = 3.721 m/s²
答案
g = 3.721 m/s²
14.弹簧与单摆
答案: A = 16.27 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
撞击后的速度
V = m·v/(m + M) = 0.008·500/1.008 = 3.968 m/s
角频率
ω = √(k/(m + M)) = √(600/1.008) = 24.4 rad/s
振幅
A = V/ω = 3.968/24.4 = 0.1627 m = 16.27 cm
答案
A = 16.27 cm
15.波、声与光学
答案: L = 1.5 m
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
波长
λ = v/f = 300/500 = 0.6 m
长度
L = nλ/2 = 5·0.6/2 = 1.5 m
答案
L = 1.5 m
16.波、声与光学
答案: mmax = 1
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
刻线间距
d = 1/1200 mm = 0.8333 µm
最高级次
m ≤ d/λ = 0.8333 µm/0.633 µm = 1.316 → mmax = 1
答案
mmax = 1
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