物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 30 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 30 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 11.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 130 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 11.5 m/sd = 130 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 130 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 130 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 21 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 21 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一个系在长 1.4 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 25° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.4 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 1.9 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.9 kgr = 0.7 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 800 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 3°F_r = 800 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 4.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 2 kgh = 4.5 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 1.1 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4.5 kgL = 1.1 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.9 kg 的物体连在 k = 280 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 18 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.9 kgk = 280 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个高 1 cm 的物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 60 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 1 cmd_o = 60 cmf = 25 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 40 cm 的凹面镜前 15 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 15 cmR = 40 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: t = 30 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/2 = 30 s

答案

t = 30 s

此时警车的速度为 2v = 60 m/s。

2.运动学

答案: t = 2.46 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.46 s

答案

t = 2.46 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.05185

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 11.5²/(2·130) = 0.5087 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.5087/9.81 = 0.05185

答案

μ = 0.05185

4.牛顿定律

答案: T = 19.42 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 0)/12 = 2.044 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9.5·2.044 + 0 = 19.42 N

答案

T = 19.42 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 36.84 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·130/sin 70°) = 36.84 m/s

答案

v₀ = 36.84 m/s

6.抛体运动

答案: α = 63.82 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 21·cos 35° = 17.2 m/s

v_y0 = 21·sin 35° = 12.05 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12.05² + 2·9.81·55) = 34.99 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 34.99/17.2 → α = 63.82°

答案

α = 63.82°

7.圆周运动

答案: T = 2.26 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.4·sin 25° = 0.5917 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5917·9.81·tan 25°) = 1.645 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.5917/1.645 = 2.26 s

答案

T = 2.26 s

8.圆周运动

答案: T = 238.5 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.9·9.81 + 1.9·9²/0.7 = 18.64 + 219.9 = 238.5 N

答案

T = 238.5 N

9.功和能

答案: P = 34.48 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 3° = 924.1 N

F = 924.1 + 800 = 1724 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1724·20 = 34483 W = 34.48 kW

答案

P = 34.48 kW

10.功和能

答案: v = 5.425 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.5 − 3) = 29.43 m²/s²

v = 5.425 m/s

答案

v = 5.425 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 21.33 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 0.5)/(4 + 0.5)·12 = 9.333 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 0.5)·12 = 21.33 m/s

答案

v′₂ = 21.33 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 429 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.1·(1 − cos 20°) = 0.06634 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.06634) = 1.141 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.512·1.141/0.012 = 429 m/s

答案

v = 429 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.172 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.5/9.81) = 3.172 s

答案

T = 3.172 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.185 m/s

角频率

ω = √(280/1.9) = 12.14 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.18·12.14 = 2.185 m/s

答案

v_max = 2.185 m/s

15.波、声与光学

答案: h_i = −0.7143 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/60

d_i = 42.86 cm

放大率与像高

m = −42.86/60 = −0.7143

h_i = −0.7143·1 = −0.7143 cm

答案

h_i = −0.7143 cm

16.波、声与光学

答案: m = 4

焦距

f = R/2 = 20 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/15

d_i = −60 cm

放大率

m = −(−60)/15 = 4

答案

m = 4

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