物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 6 s，然后匀速行驶 18 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 6 st₂ = 18 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 35 kgθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 6 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 6.5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 20° 的角度朝 51 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 20°x = 51 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 55°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 250 m 的弯道倾斜 8°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 250 mθ = 8°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 35°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 50 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 50 Nθ = 35°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 21 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 1500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 2000 kgv₁ = 21 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 22 m/s 向东行驶的 900 kg 汽车与一辆以 23 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 900 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 23 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.2 kg 的物体连在 k = 50 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.2 kgk = 50 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

对于入射角大于 30° 的每一个角度，透明块内的光在与水（n = 1.33）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 30°n₂ = 1.33

n₁ =

16.波、声与光学困难

波长为 405 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ₂。

N = 300 mm⁻¹λ = 405 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 66.67 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66.67 m

答案

s = 66.67 m

2.运动学

答案: t = 28 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·6 = 12 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 12/3 = 4 s

总时间

t = 6 + 18 + 4 = 28 s

答案

t = 28 s

3.牛顿定律

答案: F = 171.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 88.87 + 82.91 = 171.8 N

答案

F = 171.8 N

4.牛顿定律

答案: a = 1.931 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 29.43 N

μ·m₁·g·cos θ = 10.19 N

系统的加速度

a = (63.77 − 29.43 − 10.19)/12.5 = 1.931 m/s²

答案

a = 1.931 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 7.414 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 36·cos 20° = 33.83 m/s

t = x/v_x = 51/33.83 = 1.508 s

此时的高度

y = 12.31·1.508 − ½·9.81·1.508² = 7.414 m

答案

y = 7.414 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: H = 73.68 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 20·sin 55° = 16.38 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 16.38²/(2·9.81) = 13.68 m

离地面的高度

H = 60 + 13.68 = 73.68 m

答案

H = 73.68 m

7.圆周运动

答案: v_max = 20.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·70) = 20.3 m/s

答案

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 24.46 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(250·9.81·0.2382/0.9764) = 24.46 m/s

答案

v_max = 24.46 m/s

(88.06 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 96.43 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.8192 = 32.14 N

F = μN = 0.3·32.14 = 9.643 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 9.643·10 = 96.43 J

答案

W_f = 96.43 J

10.功和能

答案: v = 3.962 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 28.13 N

μ·mg·cos θ = 12.05 N

功–能关系

½mv² = (50 − 40.19)·4 = 39.25 J

v = √(2·39.25/5) = 3.962 m/s

答案

v = 3.962 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 189000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·21/3500 = 12 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·2000·21² = 441000 J

K_after = ½·3500·12² = 252000 J

损失的能量

ΔK = 441000 − 252000 = 189000 J

答案

ΔK = 189000 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 15.97 m/s

动量分量

p_x = 900·22 = 19800 kg·m/s

p_y = 1000·23 = 23000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 30349/1900 = 15.97 m/s

答案

v′ = 15.97 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.006 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1/9.81) = 2.006 s

答案

T = 2.006 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 0.9375 m/s²

角频率

ω = √(50/3.2) = 3.953 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.06·3.953² = 0.9375 m/s²

答案

a_max = 0.9375 m/s²

15.波、声与光学

答案: n₁ = 2.66

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.33/0.5 = 2.66

答案

n₁ = 2.66

16.波、声与光学

答案: θ₂ = 14.06 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·405 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.243

θ = 14.06°

答案

θ₂ = 14.06°

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