物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 11.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 130 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 11.5 m/sd = 130 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5 m/sθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 20 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 20 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 40 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 20 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 65°h_roof = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.6 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.6 kgr = 0.6 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 8 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.15d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 12 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 12 cmθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 1800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 19 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1800 kgd = 19 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.7 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 2.8 kg 的物体连在 k = 420 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 13 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2.8 kgk = 420 N/mA = 13 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

频率为 500 Hz、速度为 10 m/s 的声源与速度为 20 m/s 的观察者相互远离。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y₁。

λ = 600 nmd = 0.1 mmL = 1 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 185.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·3) = 185.2 m

答案

s = 185.2 m

2.运动学

答案: d = 77.47 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1441))/(2·4.905) = 3.974 s

深度

d = ½·9.81·3.974² = 77.47 m

答案

d = 77.47 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.05185

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 11.5²/(2·130) = 0.5087 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.5087/9.81 = 0.05185

答案

μ = 0.05185

4.牛顿定律

答案: d = 1.637 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.25·cos 35°) = 7.636 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·7.636) = 1.637 m

答案

d = 1.637 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 14.11 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·20/sin 100°) = 14.11 m/s

答案

v₀ = 14.11 m/s

6.抛体运动

答案: x = 114.8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 16.9 m/s, v_y = 36.25 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

20 = 36.25·t − 4.905·t²

t = (36.25 + √(36.25² − 2·9.81·20))/9.81 = 6.79 s

水平距离

x = v_x·t = 16.9·6.79 = 114.8 m

答案

x = 114.8 m

7.圆周运动

答案: v_max = 21.92 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·70) = 21.92 m/s

答案

v_max = 21.92 m/s (78.93 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 39.7 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.6·9.81 + 1.6·3²/0.6 = 15.7 + 24 = 39.7 N

答案

T = 39.7 N

9.功和能

答案: W_f = 45.09 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N

F = μN = 0.15·37.57 = 5.636 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.636·8 = 45.09 J

答案

W_f = 45.09 J

10.功和能

答案: d = 0.7768 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·2000·0.12² = 14.4 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 14.4/(29.43·(0.5 + 0.15·0.866)) = 0.7768 m

答案

d = 0.7768 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 15 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 0.5)/(2.5 + 0.5)·9 = 6 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 0.5)·9 = 15 m/s

答案

v′₂ = 15 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 37.39 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·19) = 14.96 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·14.96/1200 = 37.39 m/s

答案

v₁ = 37.39 m/s

(134.6 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.678 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.7/9.81) = 1.678 s

答案

T = 1.678 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 19.5 m/s²

角频率

ω = √(420/2.8) = 12.25 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.13·12.25² = 19.5 m/s²

答案

a_max = 19.5 m/s²

15.波、声与光学

答案: f′ = 457.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 20)/(343 + 10)

f′ = 457.5 Hz

答案

f′ = 457.5 Hz

16.波、声与光学

答案: y₁ = 6 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1/(0.1 × 10⁻³) = 6 mm

第 1 条条纹

y₁ = 1·6 = 6 mm

答案

y₁ = 6 mm

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