物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 24 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2.5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 24 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 10 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 28 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 10 mv_0B = 28 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 8 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 5.5 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 81 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 25°x = 81 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 13 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆 1800 kg 的汽车以 24 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 80 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1800 kgv = 24 m/sr = 80 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.5 kgr = 1.2 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 1 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 210 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 6 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 210 Nθ = 20°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 24 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一颗以 250 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3 kg 木块中。木块连在一根 k = 500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 250 m/sM = 3 kgk = 500 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

频率为 600 Hz、速度为 25 m/s 的声源与速度为 10 m/s 的观察者相互远离。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y₁。

λ = 650 nmd = 0.5 mmL = 1.5 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 19.2 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·24/2.5 = 19.2 s

答案

t = 19.2 s

此时警车的速度为 2v = 48 m/s。

2.运动学

答案: t = 0.3571 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

10 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 10/28 = 0.3571 s

答案

t = 0.3571 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.631 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答案

a = 3.631 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 47.42 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 53.96 N

m₁·g·sin θ = 26.84 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.06 N

系统的加速度

a = (53.96 − 26.84 − 11.06)/13.5 = 1.189 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 5.5·(9.81 − 1.189) = 47.42 N

答案

T = 47.42 N

5.抛体运动

答案: y = 7.54 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 36·cos 25° = 32.63 m/s

t = x/v_x = 81/32.63 = 2.483 s

此时的高度

y = 15.21·2.483 − ½·9.81·2.483² = 7.54 m

答案

y = 7.54 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: t = 3.219 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 15° = 12.56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 15° = 3.365 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 3.365·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.365 + √(11.32 + 784.8))/9.81 = 3.219 s

答案

t = 3.219 s

7.圆周运动

答案: N = 4698 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9.81 − 1800·24²/80 = 17658 − 12960 = 4698 N

答案

N = 4698 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 105 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.5·9.81 + 1.5·8.5²/1.2 = 14.71 + 90.31 = 105 N

答案

T = 105 N

9.功和能

答案: T = 109.9 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 20°) = 1.183 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·1.183/1 = 109.9 N

答案

T = 109.9 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 109.9 N。

10.功和能

答案: v = 7.976 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 67.1 N

μ·mg·cos θ = 36.87 N

功–能关系

½mv² = (210 − 104)·6 = 636.1 J

v = √(2·636.1/20) = 7.976 m/s

答案

v = 7.976 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 1)/(2 + 1)·12 = 4 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1)·12 = 16 m/s

答案

v′₁ = 4 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 1190 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(10 + 24) = 11.9 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.9/0.01 = 1190 N

答案

F_avg = 1190 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.236 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

答案

L = 2.236 m

14.弹簧与单摆

答案: A = 7.731 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·250/3.012 = 0.996 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(500/3.012) = 12.88 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.996/12.88 = 0.07731 m = 7.731 cm

答案

A = 7.731 cm

15.波、声与光学

答案: f′ = 542.9 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 10)/(343 + 25)

f′ = 542.9 Hz

答案

f′ = 542.9 Hz

16.波、声与光学

答案: y₁ = 1.95 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·1.5/(0.5 × 10⁻³) = 1.95 mm

第 1 条条纹

y₁ = 1·1.95 = 1.95 mm

答案

y₁ = 1.95 mm

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