物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
a = 1.75 m/s²s = 1000 m

一架飞机从静止开始，以 1.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1000 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 1.75 m/s²s = 1000 m
v = m/s
2.运动学困难
v₀ = 14 m/s35 m

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 14 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 35°a = ?m = 3 kg

一个 3 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1 kg5.5 kgμ = 0.25

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 1 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 40 m/s45°射程

一个球 从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 40 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
3 mv0​ = 28 m/s60°x = ?

一个球从地面以 28 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 3 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 60°hroof = 3 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
r = 55 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 55 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 55 mμs = 0.7g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
r = 1 mv = 9 m/s

一个 1.9 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.9 kgr = 1 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
30°d = 5 mμ = 0.3

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 5 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 0.5 kgθ = 30°μ = 0.3d = 5 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
h = 10.5 mR = 3 mv = ?

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 10.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 3 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 10.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
2000 kg15 m/s1600 kg

一辆以 15 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 2000 kgv1 = 15 m/sm2 = 1600 kgv2 = 0
ΔK = J
12.动量与碰撞困难
16 m/s15 m/s

一个 0.1 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.1 kgvin = 16 m/svout = 15 m/sΔt = 25 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
1.3 kgk = 150 N/mA = 9 cmx = 4 cm

一个连在 k = 150 N/m 弹簧上的 1.3 kg 物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的速度 v。

m = 1.3 kgk = 150 N/mA = 9 cmx = 4 cm
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
1.5 kgk = 160 N/mA = 18 cm

一个 1.5 kg 的物体连在 k = 160 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 18 cm 后释放。 求振动的总能量 E。

m = 1.5 kgk = 160 N/mA = 18 cm
E = J
15.波、声与光学中等
FFdo​ = 40 cmf = −30 cm

一个物体位于焦距为 30 cm 的薄发散透镜前 40 cm 处。求像距 di。使用符号规定 1/f = 1/do + 1/di（发散透镜 f < 0，虚像 di < 0）。

do = 40 cmf = −30 cm
di = cm
16.波、声与光学困难
Fdo​ = 10 cmR = 24 cm

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凹面镜前 10 cm 处。求像距 di，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

do = 10 cmR = 24 cm
di = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 59.16 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·1.75·1000) = 59.16 m/s

答案

v = 59.16 m/s
(213 km/h)
2.运动学

答案: hmax = 44.99 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

hmax = 35 + 9.99 = 44.99 m

答案

hmax = 44.99 m
3.牛顿定律

答案: a = 4.823 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答案

a = 4.823 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 10.38 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 2.453)/6.5 = 7.923 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 1·7.923 + 2.453 = 10.38 N

答案

T = 10.38 N
5.抛体运动

答案: t = 5.766 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 40·cos 45° = 28.28 m/s
vy = v0·sin θ = 40·sin 45° = 28.28 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·28.28/9.81 = 5.766 s

答案

t = 5.766 s
6.抛体运动

答案: x = 67.43 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 14 m/s, vy = 24.25 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

3 = 24.25·t − 4.905·t²
t = (24.25 + √(24.25² − 2·9.81·3))/9.81 = 4.817 s

水平距离

x = vx·t = 14·4.817 = 67.43 m

答案

x = 67.43 m
7.圆周运动

答案: vmax = 19.43 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·55) = 19.43 m/s

答案

vmax = 19.43 m/s (69.96 km/h)
8.圆周运动

答案: T = 172.5 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.9·9.81 + 1.9·9²/1 = 18.64 + 153.9 = 172.5 N

答案

T = 172.5 N
9.功和能

答案: Wf = 6.372 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.866 = 4.248 N
F = μN = 0.3·4.248 = 1.274 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 1.274·5 = 6.372 J

答案

Wf = 6.372 J
10.功和能

答案: v = 9.396 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10.5 − 6) = 88.29 m²/s²
v = 9.396 m/s

答案

v = 9.396 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 100000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 2000·15/3600 = 8.333 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·2000·15² = 225000 J
Kafter = ½·3600·8.333² = 125000 J

损失的能量

ΔK = 225000 − 125000 = 100000 J

答案

ΔK = 100000 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: Favg = 124 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(15 + 16) = 3.1 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 3.1/0.025 = 124 N

答案

Favg = 124 N
13.弹簧与单摆

答案: v = 0.866 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(150/1.3) = 10.74 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.74·√(0.09² − 0.04²) = 0.866 m/s

答案

v = 0.866 m/s
14.弹簧与单摆

答案: E = 2.592 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(160/1.5) = 10.33 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·160·0.18² = 2.592 J

答案

E = 2.592 J
15.波、声与光学

答案: di = −17.14 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−30) − 1/40
di = −17.14 cm
FF40 cmf = −30 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

di = −17.14 cm
16.波、声与光学

答案: di = −60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 12 cm

镜面方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/12 − 1/10
di = −60 cm
F10 cmf = 12 cm

光线图

镜后的虚像

答案

di = −60 cm

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